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Matemática Financeira - Aula 9

Aula 09 - Taxa interna de retorno

Taxa interna de retorno

Introdução

Taxa interna de retorno é uma taxa de juros que faz com que a soma dos fluxos de caixa no presente iguale a zero.

Consideremos o seguinte problema: dado um conjunto de valores positivos y1, y2, y3,…, yn, nas datas 1, 2, 3,…, t, respectivamente, e um investimento no tempo 0, descobrir a taxa de juros i, tal que zere o somatório dos itens no valor presente. O significa de zerar o somatório mostra que o montante investimento gerará o fluxo de caixa dado na taxa de juros descoberta.

No caso de empresas, a taxa interna de retorno é de suma importância por poder ser um avaliador de um investimento. Espera-se que um investimento tenha uma taxa de retorno acima do rendimento da poupança e de preferência acima do investimento em títulos de tesouro, por estes serem extremamente seguros.

Cálculo da taxa interna de retorno

Basicamente, o problema consiste em achar o valor de i, tal que:

\begin{equation} \text{investimento} = y_0 + \frac{y_1}{(1+i)^{1}} + \frac{y_2}{(1+i)^{2}} + ... +\frac{y_t}{(1+i)^{t}} \end{equation}

Como podem ser feitos vários investimentos e em tempos diferentes, a melhor forma de expressar a taxa interna de retorno seria:

\begin{equation} 0 = -\text{investimento}_1 + -\text{investimento}_2 + ... + -\text{investimento}_n + y_0 + \frac{y_1}{(1+i)^{1}} + \frac{y_2}{(1+i)^{2}} + ... +\frac{y_t}{(1+i)^{t}} \end{equation}

Um exemplo número:

fluxo de caixa tempo
- 5.000 0
2.000 1
2.000 2
2.000 3

Descobrimos o TIR(ou IRR) a partir:

\begin{equation} 0 = -5.000 + \frac{2.000}{(1+i)^{1}} + \frac{2.000}{(1+i)^{2}} + \frac{2.000}{(1+i)^{3}} \end{equation}

É preciso resolver uma equação polinomial de grau n, o que, em geral, não pode ser feito por métodos clássicos (geralmente essas equações não têm fórmula resolutiva) e é preferencialmente feito pela HP12C. Como não usaremos calculadora neste curso, o que veremos é um método aproximado de resolução.

Testa-se diversos TIR:

Taxa de juros Valor Presente líquido
5% 446
10% -26

Como o cálculo do valor presente líquido (VPL) deu positivo para 5% e negativo para 10%, percebe-se que o TIR deve estar entre 5% e 10%. Resolve-se assim com a interpolação linear que consiste em se admitir que o arco gerado entre as taxas é um segmento de reta. Assim, usando-se métodos da geometria clássica, pode-se determinar i:

\begin{equation} \frac{446}{i - 5\%}=\frac{26}{10\% - i}\end{equation}

\begin{equation} 44,6 - 446i = 26i - 1,3\end{equation}

\begin{equation} 472i = 43,3 = 9,17\% \end{equation}

Considerando linearidade, o TIR equivale a 9,17%. Outra fórmula mais prática de calcular seria apenas usar o ponto médio, que neste caso seria de 7,5%.

Caso fóssemos uma calculadora, poderíamos avançar nesse método de novo. Juros de 7,5% significa VPL de 201 reais, positivo. Como o Juros de 10% criam VPL de -26 reais, negativo, imagina-se que o TIR esteja entre os dois, neste caso 8,75%, que gera VPL de 85 reais.

Podemos aplicar quantas iterações quiseremos até chegarmos muito perto do valor real do TIR. Na verdade isso que calculadoras fazem, mas diversas iterações em poucos milisegundos devido à sua natureza.

Exemplos

Considere o seguinte fluxo de caixa, calcule sua taxa interna de retorno:

fluxo de caixa tempo
- 40 0
15 1
20 2
22 3

Testa-se diversos TIR:

Taxa de juros Valor Presente líquido
5% 11,43
10% 6,69
15% 2,63
20% -0,88

O TIR é a taxa de juros que faz o VPL ser zero. E ele está entre 15% e 25%, logo:

\begin{equation} \frac{2,63}{i - 15\%}=\frac{0,88}{20\% - i}\end{equation}

\begin{equation} i = 18,75\%\end{equation}

Ou podemos apenas usar o ponto médio e o TIR será de 17,5%

Calcular a taxa interna de retorno do investimento dado pelos fluxos de caixa a seguir:

fluxo de caixa tempo
500 0
-1.500 1
1.000 2

Trata-se de um investimento não convencional. Assim, indicando por i a taxa procurada, devemos ter:

\begin{equation} 0 = 500 - \frac{1.500}{(1+i)^{1}} + \frac{1.000}{(1+i)^{2}} \end{equation}\begin{equation} 0 = 500*(1+i)^{2} - 1.500*(1+i)^{1} + 1.000 \end{equation}\begin{equation} 0 = (1+i)^{2} - 3*(1+i)^{1} + 2 \end{equation}\begin{equation} 0 = i^{2} + 2*i + 1- 3*i -3 + 2 \end{equation}\begin{equation} 0 = i^{2} - i = i(1 + i) \end{equation}\begin{equation} i = 0 \text{ ou } i = 1\end{equation}

O TIR ou é de 0% ou é de 100%. E se analisarmos bem, o VPL será positivo para taxas acimas de 100% e negativo para taxas entre 0% e 100%.

Exercícios

1) Um banco concede a uma empresa um empréstimo de R\$ 600.000,00 para ser pago em três prestações vencíveis dentro de um, dois e três anos com valores de R\$ 200.000,00, R\$ 300.000,00 e R\$ 400.000,00, respectivamente. Qual a taxa de juros desse empréstimo?

2) Um equipamento é vendido à vista por R\$ 13.000,00 ou, então, tal quantia pode ser financiada com R\$ 3.000,00 de entrada, mais três prestações mensais de R\$ 4.000,00 cada uma. Qual a taxa de juros desse financiamento?

3) Se, no problema anterior, o comprador tem fundos para comprar à vista e consegue remunerar suas aplicações à taxa de 2% a.m., qual sua melhor alternativa?

4) Uma máquina é vendida por R\$ 35 mil à vista ou a prazo em seis prestações mensais, sem entrada, sendo de R\$ 6 mil o valor de cada uma das três primeiras e de R\$ 8 mil o de cada uma das três últimas. Qual a taxa de juros desse financiamento?

5) Um terreno é vendido à vista por R\$ 60.000,00 ou, então, a prazo em seis prestações mensais iguais de R\$ 11.000,00 cada uma, vencendo a primeira três meses após a compra. Qual a taxa de juros do financiamento?

6) Uma matéria-prima é vendida por R\$ 900,00 em três parcelas mensais iguais, sem acréscimo, sendo a primeira dada como entrada. Se o pagamento é feito à vista, há um desconto de 5% sobre o preço de venda.

a) Qual a taxa de juros do financiamento?

b) Qual a melhor alternativa de pagamento para o comprador se ele consegue aplicar seu dinheiro à taxa de 1,7% a.m.?

7) Uma pessoa aplicou R\$ 500.000,00 e recebeu R\$ 200.000,00 após um mês, R\$ 250.000,00 após dois meses e R\$ 300.000,00 após três meses. Qual a taxa interna de retorno desse investimento?

8) Aplicando R$ 120.000,00, uma pessoa estima receber R\$ 40.000,00, R\$ 60.000,00 e R\$ 90.000,00 após três, cinco e sete meses, respectivamente.

a) Qual a taxa interna de retorno desse investimento?

b) Supondo que a taxa de atratividade do investidor seja 6% a.m., verificar se o investimento deve ser feito.

9) Admitindo que os dividendos proporcionados por uma ação sejam de R\$ 12,00 e R\$ 14,00, daqui a seis e 12 meses, e que o valor estimado de venda seja de R\$ 125,00, daqui a 12 meses, calcule:

a) O valor a ser pago hoje por esta ação, de forma que o investidor obtenha uma taxa de retorno de 9% a.s.

b) Se o investidor pagar hoje R\$ 120,00 pela ação, qual a taxa de retorno obtida?

10) Uma empresa obteve um financiamento de R\$ 10.000,00 à taxa de 120% a.a. capitalizados mensalmente (isto é, uma taxa efetiva de 10% a.m.). A empresa pagou R\$ 6.000,00 no final do primeiro mês e R\$ 3.000,00 no final do segundo mês. Calcule o valor a ser pago no final do terceiro mês para liquidar a dívida.

Gabarito

1) 20,61% a.a.

2) 9,70% a.m.

3) Comprar à vista.

4) 5,13% a.m.

5) 1,76% a.m.

6) a) 5,35% a.m.; b) À vista.

7) 21,65% a.m.

8) a) 8,85% a.m.; b) Deve ser feito.

9) a) R$ 128,00; b) 12,74% a.s.

10) R\$ 2.750,00

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