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Matemática Financeira - Aula 8

Aula 08 - Valor presente

Valor presente

Introdução

Uma das premissas básicas da matemática financeira é que não podemos comparar fluxos de caixa em períodos de tempo diferentes, devido ao valor do dinheiro flutuar no tempo.

Logo, dois fluxos de caixas só podem ser comparados no mesmo momento de tempo. Como isso traz uma complicação e é de nosso interesse comparações de fluxos em tempos diferentes, trazemos todos os fluxos de caixa para o tempo presente e comparamos eles logo depois.

O valor de um fluxo de caixa em um tempo t no tempo presente é chamado de valor presente.

Equivalência de dois valores monetários

Consideremos dois valores monetários, x e y, separados por t períodos de tempo, por exemplo, o primeiro na data 0 e o segundo na data t. Dizemos que x e y são equivalentes a uma taxa de juros compostos (i) se:

\begin{equation} x*(1+i)^{t} = y \end{equation}

Em outras palavras, x é equivalente a y se, ao aplicarmos x até a data t, o montante obtido for igual a y. Dizemos também que x é o valor presente de y.

Exemplos

A uma taxa de juros compostos de 2% a.m., R\$ 1.500.000,00, daqui a três meses, equivalem a quanto hoje?

Sendo x o valor hoje, devemos ter:

\begin{equation} x*(1+0,02)^{3} = 1.500.000 \end{equation}\begin{equation} x = \frac{1.500.000}{(1+0,02)^{3}} \end{equation}\begin{equation} x = 1.413.483,50 \end{equation}

Em outras palavras, com uma taxa de 2%, 1.500.000 é o mesmo que 1.413.483,50 em valor presente.

Valor presente de um conjunto de capitais

Consideremos os valores y0, y1, y2,…, yt, nas datas 0, 1, 2,…, t, respectivamente. Chamamos de valor presente na data 0 (ou simplesmente valor presente) desse conjunto, a uma taxa de juros i, a soma dos valores equivalentes desses capitais na data 0.

Os valores monetários referidos podem ser pagamentos de uma dívida ou então rendas recebidas.

\begin{equation} x = y_0 + \frac{y_1}{(1+i)^{1}} + \frac{y_2}{(1+i)^{2}} + ... +\frac{y_t}{(1+i)^{t}} \end{equation}

Que pode ser representado pelo somatório:

\begin{equation} x = \sum\frac{y_t}{(1+i)^{t}} \end{equation}

Exemplos

Uma empresa prevê o pagamento de R\$ 2.000,00 daqui a um mês, R\$ 3.000,00 daqui a dois meses e R\$ 5.000,00 daqui a três meses. Quanto deverá aplicar hoje, a juros compostos à taxa de 1,5% a.m., para fazer frente a essas despesas, sobrando saldo nulo após o último pagamento?

O valor que deverá ser aplicado hoje é, por definição, o valor atual desse conjunto, ou seja:

\begin{equation} x = \frac{2000}{(1+0,015)^{1}} + \frac{3000}{(1+0,015)^{2}} + \frac{5000}{(1+0,015)^{3}} = 9.664,01 \end{equation}

Observemos que

  • Aplicando-se R\$ 9.664,01 por um mês, obteremos o montante de 9.664,01(1,015) = 9.808,97.
  • Retirando-se R\$ 2.000,00 para o primeiro pagamento, restará um saldo de R\$ 7.808,97.
  • Aplicando-se R\$ 7.808,97 por mais um mês, obteremos o montante de 7.808,97(1,015) = 7.926,11.
  • Retirando-se R\$ 3.000,00 para o segundo pagamento, restará um saldo de R\$ 4.926,11.
  • Aplicando-se R\$ 4.926,11 por mais um mês, obteremos o montante de 4.926,11(1,015) = 5.000,00.
  • Retirando-se R\$ 5.000,00 para o terceiro pagamento, restará o saldo de zero.

Uma loja vende um conjunto de sofás por R\$ 500,00 de entrada, mais três prestações mensais de R\$ 800,00 cada uma. Se um comprador consegue aplicar seu dinheiro à taxa de 1,2% a.m., quanto deverá dispor hoje para poder efetuar a compra?

\begin{equation} x = 500 + \frac{800}{(1+0,012)^{1}} + \frac{800}{(1+0,012)^{2}} + \frac{800}{(1+0,012)^{3}} = 2.843,53 \end{equation}

Portanto, se o comprador dispuser hoje de R$ 2.843,53 (no mínimo), ele poderá comprar o conjunto de sofás.

Uma televisão é vendida à vista por R\$ 1.500,00 ou, então, a prazo em três prestações mensais iguais, sem entrada. Qual o valor de cada prestação se a loja pretende ganhar 3% a.m. no financiamento?

\begin{equation} 1500 = \frac{x}{(1+0,03)^{1}} + \frac{x}{(1+0,03)^{2}} + \frac{x}{(1+0,03)^{3}} \end{equation}\begin{equation} 1500 = 0,9709x + 0,9426x + 0,9151x = 2,8286x \end{equation}\begin{equation} x = \frac{1500}{2,8286} = 530,30 \end{equation}

Conjuntos com valores equivalentes

Dizemos que dois conjuntos são equivalentes, a uma taxa de juros compostos i, se os seus valores atuais forem iguais.

Exemplos

Uma loja vende uma geladeira nas seguintes condições: entrada de R\$ 1.000,00 mais uma parcela de R$ 1.200,00, após um mês. Um cliente propõe pagar uma entrada de R\$ 600,00 mais duas prestações mensais e iguais, vencendo a primeira um mês após a compra. Se a loja financia a uma taxa de juros de 3% a.m., qual o valor de cada parcela, de modo que as duas formas de pagamento sejam equivalentes?

\begin{equation} x_1 = 1000 + \frac{1200}{(1+0,03)^{1}} = 2.165,05 \end{equation}\begin{equation} x_2 = 600 + \frac{y}{(1+0,03)^{1}} + \frac{y}{(1+0,03)^{2}} = 2.165,05 \end{equation}\begin{equation} 0,97087y + 0,942596y = 1.565,05 \end{equation}\begin{equation} 1,91347y = 1.565,05 \end{equation}\begin{equation} y = 817,91 \end{equation}

Análise de alternativas de pagamento pelo valor atual

Frequentemente somos colocados em situações nas quais são oferecidas várias alternativas para o pagamento de um bem ou serviço.

Se os valores monetários forem calculados em uma mesma data, podemos facilmente efetuar sua comparação. Isto pode ser feito pela comparação dos valores atuais de cada alternativa.

Nesse caso, utilizando a taxa de juros compostos que podemos aplicar o dinheiro, é possível calcular o valor atual de cada alternativa.

Exemplos

Uma casa é vendida à vista por R\$ 326.000,00, ou, a prazo, por R\$ 90.000,00 de entrada mais três prestações mensais e iguais de R\$ 80.000,00 cada uma, vencendo a primeira um mês após a entrada. Qual a melhor alternativa de pagamento para um comprador que consegue aplicar seu dinheiro à taxa de juros compostos de 1% a.m.?

\begin{equation} x_1 = 326.000 \end{equation}\begin{equation} x_2 = 90.000 + \frac{80.000}{(1+0,01)^{1}}+ \frac{80.000}{(1+0,01)^{2}}+ \frac{80.000}{(1+0,01)^{3}} = 325.278,82 \end{equation}

Como x2 < x1, segue-se que a melhor alternativa para o comprador é o pagamento a prazo.

Exercícios

  1. Uma empresa prevê pagamentos mensais de R\$ 250.000,00 daqui a um, dois e três meses. Quanto deverá aplicar hoje, no mínimo, à taxa de juros compostos de 1,6% a.m., para fazer frente a esses pagamentos?

  2. Um aparelho de TV é vendido à vista por R\$ 1.500,00, ou por 20% de entrada mais duas parcelas mensais e iguais. Sabendo-se que a taxa de juros compostos é de 6% a.m., qual o valor de cada parcela para que as duas formas de pagamento sejam equivalentes?

  3. Resolva o problema anterior supondo que haja três pagamentos mensais, excluindo a entrada.

  4. Um conjunto de armários é vendido por R\$ 3.000,00 à vista, ou, então, com uma entrada mais três parcelas mensais de R\$ 800,00 cada uma. Se a loja financia suas vendas com uma taxa de juros compostos de 3,5% a.m., qual o valor da entrada?

  5. Um terno é vendido em uma loja por R\$ 800,00 de entrada mais uma parcela de R\$ 400,00, após um mês. Um comprador propõe dar R\$ 200,00 de entrada. Nessas condições, qual o valor da parcela mensal para que as duas formas de pagamento sejam equivalentes, sabendo-se que a loja opera a uma taxa de juros compostos de 4% a.m.?

  6. Um aparelho de som é vendido por um preço P em três parcelas mensais iguais, sem acréscimo, sendo a primeira dada como entrada. Se o pagamento for feito à vista, haverá um desconto de 3% sobre P. Qual a melhor alternativa para o comprador, se a taxa de juros para aplicação for de 1,5% a.m.?

  7. Qual a melhor alternativa para o comprador: pagar R\$ 1.200.000,00 daqui a 45 dias ou três parcelas de R\$ 400.000,00 cada uma, em 30, 45 e 60 dias da compra, se a taxa de juros compostos para aplicação for de 1,4% a.m.?

  8. Se um comprador aplica seus recursos à taxa de 1,2% a.m., qual sua melhor alternativa diante de um produto anunciado pelo preço de R\$ 10.000,00: pagar à vista com 3% de desconto sobre o preço anunciado ou pagar com desconto de 2% sobre o valor anunciado, em duas parcelas mensais iguais, vencendo a primeira um mês após a compra?

  9. Um terreno é colocado à venda por R\$ 400.000,00 à vista, ou, a prazo, com 20% de entrada mais duas parcelas trimestrais de R\$ 164.000,00 cada. Se o comprador aplica seus recursos à taxa de 2% a.m., qual sua melhor alternativa?

  10. Uma empresa tem a opção de alugar um computador por R\$ 500,00 por ano, durante cinco anos (com pagamento ao final de cada ano), ou comprar o mesmo computador por R\$ 2.100,00. Após cinco anos o computador não terá valor algum. Supondo que os dados estejam em valores reais e que a empresa aplique seus recursos à taxa real de 10% a.a., o que é melhor para a empresa, alugar ou comprar?

Gabarito

  1. R$ 726.624,98

  2. R$ 654,52

  3. R$ 448,93

  4. R$ 758,69

  5. R$ 1.024,00

  6. À vista.

  7. Pagar em 45 dias.

  8. Pagar a prazo.

  9. Pagar a prazo.

  10. Alugar.

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