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Matemática Financeira - Aula 5

Aula 05 - Desconto compostos

Desconto compostos

Desconto composto

No regime de juros compostos, os descontos de cada período são obtidos pela aplicação da taxa de desconto d por período, sobre o capital existente no início do período de desconto. Seguindo as mesmas nomenclaturas:

  • Valor total do desconto de: D
  • Valor total do título: N
  • Valor líquido do título: Vd
  • taxa de desconto: d
  • Número de períodos: t

Assim, temos:

a) no 1o período de desconto (n = 1):

capital no início do período = N 
desconto do período = N x d 
capital no final do período = Vd = N – N x d = N (1 – d) 

b) no 2o período de desconto (n = 2):

capital no início do período = N (1 – d) 
juros do período = N (1 – d) x d 
capital no final do período = Vd = N (1 – d) – N (1 – d) x d = N (1 – d) x (1 – d) 

e, portanto,

\begin{equation} Vd = N (1 – d)^{2} \end{equation}
c) A expressão para o valor presente N, no final do 3o período de desconto, pode ser deduzida de forma análoga: 

\begin{equation} Vd = N (1 – d)^{3} \end{equation}
d) No enésimo período de desconto:

\begin{equation} Vd = N (1 – d)^{t} \end{equation}

Exemplos

Um título com o valor de \$10.000,00, com 60 dias para seu vencimento, é descontado no regime de juros compostos, com uma taxa de desconto “por fora” igual a 1,2% ao mês. Calcule o valor presente do título e o valor do desconto composto, expresso em $.

\begin{equation} t = 60\text{ dias}; d = 1,2\% a.m. ; N = 10.000; Vd = ?; D = ?; \end{equation}\begin{equation} Vd = N (1 – d)^{t} = 10.000*(1-0,012)^{2} = 10.000*0,97614 = 9.761,44 \end{equation}\begin{equation} D = N - Vd = 10.000 - 9.761,44 = 238,56 \end{equation}

Valor atual e nominal em juros compostos

Valor nominal (N) é o valor de compromisso na data de seu vencimento, enquanto valor atual(Vd) seria seu valor presente, onde, aplicado a juros compostos a partir desta data até seu vencimento, produz um montante de valor igual ao Nominal.

Logo:

\begin{equation} Vd (1 + i)^{t} = N \end{equation}\begin{equation} Vd = \frac{ N}{(1 + i)^{t}}\end{equation}

Se fizermos uma comparação com a taxa de desconto:

\begin{equation} Vd = \frac{ N}{(1 + i)^{t}} = N (1 – d)^{t} \end{equation}\begin{equation} \frac{1}{(1 + i)^{t}} = (1 – d)^{t} \end{equation}\begin{equation} \frac{1}{(1 + i)} = 1 – d \end{equation}\begin{equation} d = 1 - \frac{1}{(1 + i)} \end{equation}

Exemplos

uma pessoa tem uma dívida de R\$ 10.000,00 vencível daqui a três meses. Qual seu valor atual hoje, considerando uma taxa de juros de 1,5% a.m.?

\begin{equation} Vd = \frac{ N}{(1 + i)^{t}} = \frac{10.000}{(1,015)^{3}} = 9.563,17 \end{equation}

Um banco comercial realiza suas operações de crédito com uma taxa de juros de 6,00% ao semestre. Entretanto, os juros são pagos antecipadamente, por ocasião da liberação dos recursos. Assim, para cada \$1.000,00 de empréstimo, a ser liquidado no prazo de seis meses, esse banco libera um principal de \$940,00. Calcule a taxa efetiva mensal cobrada nessas operações, no regime de juros compostos.

\begin{equation} d = 6\% a.s. \end{equation}\begin{equation} 0,06 = 1 - \frac{1}{(1 + i)} \end{equation}\begin{equation} - 0,94 = - \frac{1}{(1 + i)} \end{equation}\begin{equation} 0,94 + 0,94*i = 1 \end{equation}\begin{equation} 0,94*i = 0,06 \end{equation}\begin{equation} i_{\text{semestral}} = \frac{0,06}{0,94} = 6,38\% \end{equation}\begin{equation} i_{\text{mensal}} = (1 + 0,0638)^{\frac{1}{6}} = 1,036\% \end{equation}

Exercícios

1) A relação entre o presente e o futuro da operação financeira com dois capitais no regime de juro composto é igual a 2. Se o prazo dessa operação foi de 730 dias, calcule a taxa de juro com período de 30 dias.

2) Foram investidos \$120.000 para comprar ações. Depois de 276 dias as ações foram vendidas pelo valor de \$140.981,02. Calcule a taxa de juro com período de 365 dias.

3) Uma dívida de R\$ 80.000,00 vence daqui a 5 meses. Considerando uma taxa de juros de 1,3% a.m., obtenha seu valor atual nas seguintes datas:

a) Hoje.
b) Daqui a 2 meses.
c) Dois meses antes do vencimento.

4) Quanto devo aplicar hoje, a juros compostos à taxa de 1,5% a.m., para fazer frente a um compromisso de R$ 27.000,00 daqui a dois meses?

5) Quanto devo aplicar hoje, a juros compostos à taxa de 3% a.m., para fazer frente a um compromisso de R$ 27.000,00 daqui a dois meses?

6) Uma dívida de R\$ 50.000,00 vence daqui a dois meses e outra de R\$ 60.000,00 vence daqui a 4 meses. Quanto devo aplicar hoje, a juros compostos à taxa de 0,8% a.m. para fazer frente a esses compromissos?

7) Uma dívida de R\$ 60.000,00 vence daqui a dois meses, outra de R\$ 70.000,00 vence daqui a 3 meses e R\$ 80.000 para daqui 4 meses. Quanto devo aplicar hoje, a juros compostos à taxa de 0,8% a.m. para fazer frente a esses compromissos?

8) Um equipamento é vendido por R\$ 50.000,00 para pagamento daqui a dois meses. À vista há um desconto de 3,5%. Qual a melhor opção de pagamento para um comprador que consegue aplicar seu dinheiro à taxa de 1,8% a.m.

9) Um equipamento é vendido por R\$ 50.000,00 para pagamento daqui a dois meses. À vista há um desconto de 3,5%. Qual a melhor opção de pagamento para um comprador que consegue aplicar seu dinheiro à taxa de 1,4% a.m.

10) O que é melhor para um comprador: pagar um valor daqui a 45 dias ou pagar à vista com 3% de desconto? Suponha que o comprador consiga aplicar seu dinheiro à taxa de 1,3% a.m.

11) Qual taxa de aplicação deixa um comprador indiferente entre as alternativas se elas são: pagar um valor daqui a 45 dias ou pagar à vista com 3% de desconto.

12) Rogério possui um título de dívida com vencimento daqui a 6 meses e de valor nominal igual a R\$ 85.000,00. Ernesto propõe-lhe trocar por um título vencível daqui a três meses, de valor igual a R\$ 82.000,00. Sendo de 1% a.m. a taxa de juros compostos de mercado, verifique se a troca é vantajosa para Rogério.

Gabarito

1) 2,8895% aos 30 dias

2) 23,75%

3) a) R\$ 74.996,80 ; b) R\$ 76.959,40; c) R\$ 77.959,87;

4) R\$ 26.207,87

5) R\$ 25.450,09

6) R\$ 107.327,29

7) R\$ 204.888,32

8) A prazo

9) À vista

10) À vista

11) 2,05% a.m.

12) É vantajosa.

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