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Matemática Financeira - Aula 4

Aula 04 - Juros compostos

Juros compostos

Introdução

Ao contrário do juros simples em que a taxa é sempre calculada a partir do capital inicial, no regime de capitalização composta, os juros gerados em cada período agregam-se ao montante do período anterior, passando este novo montante a produzir juros no período seguinte.

Fórmula do montante

Considera-se um capital C, uma taxa de juros de i e calcula-se o montante obtido a juros compostos, após t períodos de tempo.

Montante no período zero:

\begin{equation} M_0 = C \end{equation}

Montante após 1 período:

\begin{equation} M_1 = C + Ci = C*(1 + i) \end{equation}

Montante após 2 períodos:

\begin{equation} M_2 = C*(1 + i) + i*C*(1 + i) = C*(1 + i)*(1+i) \end{equation}

Montante após 3 períodos:

\begin{equation} M_3 = C*(1 + i)*(1+i) + i*C*(1 + i)*(1+i) = C*(1 + i)*(1+i)*(1+i) \end{equation}

No final, percebe-se que o cálculo do montante pode ser reduzido a uma fórmula de notação:

\begin{equation} M_t = C*(1 + i)^{t} \end{equation}

Exemplos

Um capital de R$ 6.000,00 foi aplicado a juros compostos durante três meses, à taxa de 2% a.m. Qual o montante e o total de juros auferidos?

\begin{equation} C = 6.000; i = 2\%a.m.; t = 3 \end{equation}\begin{equation} M_t = C*(1 + i)^{t} = 6.000*(1 + 0,02)^{3} = 6.367,25 \end{equation}\begin{equation} J = 6.367,25 - 6.000 = 367,25 \end{equation}

Que capital, aplicado a juros compostos à taxa de 2,5% a.m., produz um montante de R$ 3.500,00 após um ano?

\begin{equation} M = 3.500; i = 2,5\%a.m. ; t = 12 \end{equation}\begin{equation} 3.500 = C*(1 + 0,025)^{12} \end{equation}\begin{equation} 3.500 = C*(1,3449) \end{equation}\begin{equation} C = \frac{3.500}{1,3449} = 2.602,42 \end{equation}

Calculadoras financeiras

Para cálculos rápidos e precisos pode-se usar calculadores financeiras projetadas para este tipo de problema. Nelas:

  • PV (present value) é o mesmo que o capital;
  • FV (future value) é o mesmo que o montante;
  • i representa a taxa de juros;
  • n representa t, o tempo;

É importante destacar que, na maioria das calculadoras, os valores de PV e FV aparecem com sinais trocados. Isto é, em transações financeiras a saída de caixa é representada por número negativos enquanto a entrada é representada por número positivos.

A calculora é um forte amigo financeira, não apenas por facilitar as contas, mas por também poder guardar os números na memória interna. No exemplo anterior, o cáculo da taxa de juros anual foi arredondada para 4 casas decimais produzindo o resultado visto de 2.602,42, mas, caso tivesse guardado na mémoria, o resultado final seria de 2.602,45.

Taxas equivalentes

Similar a juros simples, taxas equivalentes são as que geram o mesmo montante em prazos e capitais iguais. Assim:

\begin{equation} C*(1 + i_1)^{t_1} = C*(1 + i_2)^{t_2} \end{equation}\begin{equation} (1 + i_1)^{t_1} = (1 + i_2)^{t_2} \end{equation}

Ou:

\begin{equation} 1 + i_1 = (1 + i_2)^{\frac{t_2}{t_1}} \end{equation}\begin{equation} i_1 = (1 + i_2)^{\frac{t_2}{t_1}} - 1 \end{equation}

Exemplos

Em juros compostos qual a taxa trimestral equivalente a 15% a.a.?

\begin{equation} t_1 = 4; i_1 = ? \end{equation}\begin{equation} t_2 = 1; i_2 = 15\% \end{equation}\begin{equation} (1 + i_1)^{4} = (1 + 0,15)^{1} \end{equation}\begin{equation} 1 + i_1 = (1 + 0,15)^{\frac{1}{4}} \end{equation}\begin{equation} i_1 = 1,0356 - 1 = 0,0356 = 3,56\% a.t. \end{equation}

Em juros compostos, qual a taxa mensal equivalente a 8% a.t.?

\begin{equation} t_1 = 3; i_1 = ? \end{equation}\begin{equation} t_2 = 1; i_2 = 8\% \end{equation}\begin{equation} i_1 = (1 + 0,08)^{\frac{1}{3}} -1 = 0,026 = 2,6\%\end{equation}

Certificado de depósito bancário e recibo de depósito bancário

Os certificados de depósito bancário(CDBs) são títulos emitidos pelos bancos em geral, destinados a carrear recursos para seus financiamentos. Tais títulos são nominativos endossáveis(podem ser transferidos por endosso).

Os recibos de depósito bancário(RDBs) são idênticos aos CDBs, só que, geralmente, são intransferíveis.

Existem duas formas de remuneração para esses títulos: a prefixada e a pós-fixada. Veremos agora a prefixada, onde seus ganhos sofrem tributação(imposto de renda). O Banco do Brasil deixa claro: [1]

Quanto mais tempo os valores permanecerem aplicados, menor será a alíquota de imposto cobrado.Para os rendimentos apurados até 31.12.2004 a alíquota é de 20%. A partir de janeiro/2005, no resgate ou no vencimento da aplicação, será cobrado imposto de renda de acordo com o prazo de permanência dos recursos, conforme tabela abaixo:

Tempo de Permanência Alíquotas Regressivas
Até 180 dias 22,5%
De 181 a 360 dias 20,0%
De 361 a 720 dias 17,5%
Acima de 720 dias 15,0%

Para a análise do ganho efetivo do investidor, calcula-se a taxa de juros da operação, levando-se em conta o imposto de renda pago. A taxa assim obtida é chamada de taxa líquida, ao passo que aquela anunciada pelas instituições financeiras é chamada de taxa bruta por não considerar o imposto.

Exemplos

Um investidor aplicou R$ 20.000,00 em um CDB prefixado de 90 dias; a taxa combinada foi de 10% a.a. Qual o montante, imposto de renda(22,5%), montante líquido e taxa líquida no período considerado?

\begin{equation} M_{90} = 20.000*(1 + 0,1)^{\frac{90}{360}} = 20.482,27 \end{equation}\begin{equation} IR = 0,225*(20.482,27 - 20.000) = 108,51 \end{equation}\begin{equation} M_{líquido} = 20.482,27 - 108,51 = 20.373,76 \end{equation}\begin{equation} i_{líquido} = \frac{20.373,76}{20.000} - 1 = 0,0187 = 1,87\%a.t. \end{equation}

Exercícios

1) Se hoje depositar $25.000 numa conta remunerada com taxa de juro 0,98% ao mês pelo prazo de 12 meses e com capitalização mensal dos juros, calcule quanto será resgatado no final de um ano.

2) Com a taxa de juro de 1,05% aos trinta dias foi aplicado o valor $20.000 durante o prazo de duzentos e setenta dias. Calcule o valor resgatado.

3) O banco financiou $20.000 pelo prazo de 12 meses na taxa de juro de 3,5% ao mês. Calcule o juro e o valor do pagamento final considerando juro composto.

4) Para sua próxima viagem daqui a 7 meses será necessário dispor de $5.000. Calcule quanto deveria aplicar hoje considerando a taxa de juro de 1,25% ao mês no regime de juro composto.

5) Recebendo a taxa de juro de 0,96% ao mês foi resgatado o valor $49.040,69 aplicado durante o prazo de nove meses. Calcule o valor aplicado.

6) Calcule a taxa de juro mensal que permite triplicar um capital em três anos.

7) A relação entre o presente e o futuro da operação financeira é 1,16578. Se o prazo dessa operação foi 12 meses, calcule a taxa de juro mensal no regime de juro composto.

8) A aplicação por 61 dias foi realizada com taxa de juro de 32,8% aos 365 dias. Calcule a taxa equivalente de juro com período de 30 dias.

9) Numa operação foram investidos $8.000 e depois de 60 dias foi resgatado o valor de $8.240. Calcule a taxa diária de juro da operação.

10) Ao aplicar um certo capital em um CDB prefixado de 30 dias, um investidor pretende ganhar uma taxa líquida de 1% no período. Sabendo-se que o imposto de renda é de 22,5% do juro, qual taxa bruta deverá aceitar?

Gabarito

1) $28.103,76

2) $21.971,36

3) J = $10.221,37; M = $30.221,37

4) $4.583,58

5) $45.000

6) 3,10%

7) 1,29%

8) 2,36%

9) 0,04927681%

10) 1,29% a.m.

Referências

[1] http://www.bb.com.br/pbb/pagina-inicial/voce/produtos-e-servicos/investimentos/investimentos-de-baixo-risco-a-longo-prazo/cdb-di#/

In [ ]: