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Matemática Financeira - Aula 3

Aula 03 - Desconto Simples

Desconto Simples

Valor nominal e valor real (ou presente)

Costuma-se chamar o valor de uma dívida, na data de seu vencimento, de valor nominal; já ao valor aplicado, em uma data anterior à data de vencimento e que proporcione um montante igual ao valor nominal chamamos de valor atual ou valor real ou valor presente.

Nota-se que aplicando nas fórmulas que já aprendidas o valor real seria o valor inicial ou capital.

A distinção entre valor nominal e real existe para não haver confusão sobre o valor que será apresentado. Muitas vezes é mais interessante usar o valor presente por este poder servir de comparação com os valores atuais que já são conhecidos.

Desconto simples

A ideia de desconto está associada com o abatimento dado a um valor monetário em determinadas condições. Assim, por exemplo, quando uma compra é feita em grande quantidade, é comum o vendedor conceder algum desconto no preço por unidade.

Outra situação envolvendo o conceito de desconto ocorre quando uma empresa vende um produto a prazo; nesse caso, geralmente o vendedor emite uma duplicata que lhe dará o direito de receber do comprador o valor combinado na data futura. Caso o vendedor precise de dinheiro, ele poderá ir a um banco e efetuar o chamado desconto da duplicata. Resumidamente, ocorre o seguinte: a empresa cede ao banco o direito do recebimento da duplicata em troca de dinheiro recebido antecipadamente.

Imagem de duplicata

De modo análogo ao desconto de duplicatas, uma empresa pode descontar notas promissórias ou cheques pré-datados em um banco. Por ser bastante comum este tipo de desconto, possue um sistema de cálculo bem caracterizado, chamado de desconto comericial ou bancário, que passaremos a estudar.

Desconto comercial ou bancário

Para cálculo de desconto se utiliza uma nova taxa, similar à taxa de juros, denominada taxa de desconto ou desconto "para fora".

  • Valor total do desconto de: D
  • Valor total do título: N
  • Valor líquido do título: Vd
  • taxa de desconto: d
  • Número de períodos: t
\begin{equation} D = N*d*t \end{equation}\begin{equation} V_d = N - D \end{equation}\begin{equation} V_d = N *(1 - d*t) \end{equation}

Logo:

begin{equation} V_d = N - Ndt \end{equation}

begin{equation} V_d = N(1 - dt) \end{equation}

begin{equation} \frac{V_d}{N} = 1 - d*t \end{equation}

begin{equation} d*t = 1 - \frac{V_d}{N} \end{equation}

Exemplos

Uma duplicata de R$ 18.000,00 foi descontada em um banco dois meses antes do vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 2,5% a.m. Obtenha o desconto e o valor líquido pago à empresa.

\begin{equation} D = N*d*t = 18.000 * 0,025 * 2 = 900 \end{equation}\begin{equation} V_d = 18.000 - 900 = 17.100 \end{equation}

O banco nesse caso pagará 17.100 reais e receberá dois meses depois 18.000

Uma nota provisória de R$12.000,00 foi descontada em um banco 42 dias antes do vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 2% a.m. Qual o desconto? Qual o valor líquido recebido pela empresa, sabendo-se que o banco cobrou uma taxa de serviço de 0,5% do valor da provisória, pago no dia em que a empresa a descontou? Qual a taxa efeitva de juros da operação no período?

\begin{equation} D = 12.000 * (\frac{0,02}{30}) * 42 = 336 \end{equation}\begin{equation} \text{Taxa de serviço:} 0,005 * (12.000) = 60 \end{equation}\begin{equation} \text{Valor líquido recebido pela empresa: } 12.000 - 336 - 60 = 11.604 \end{equation}\begin{equation} \text{Taxa efetiva de juros: } i = \frac{12.000}{11.604} - 1 = 3,41\% a.p. \end{equation}

Ao descontar uma duplicata com prazo de 72 dias até o vencimento, um banco pretende ganhar uma taxa de juros de 6% no período. Qual taxa de desconto mensal deverá cobrar?

\begin{equation} \frac{100}{V_d} -1 = 0,06 \end{equation}\begin{equation} V_d = \frac{100}{1,06} = 94,34 \end{equation}

Assim:

\begin{equation} d = 100 - 94,34 = 5,66 \% a.p. \end{equation}\begin{equation} 5,66\% = 100 *d * \frac{72}{30} \end{equation}\begin{equation} d = 5,66\% * \frac{30}{72 * 100} = 0,0236 = 2,36\% a.m. \end{equation}

Relação entre taxa de desconto e taxa de juros simples

Nesse caso existem livros que fazem a distinção de juros para desconto. Em vez de juros usam a palavra desconto "para dentro".

  • Valor total do desconto de: D ou J (Juro)
  • Valor total do título: N ou M (montante)
  • Valor líquido do título: Vd ou C (capital)
  • taxa de desconto: d
  • taxa de juros: i (desconto "para dentro")
  • Número de períodos: t
\begin{equation} D = N*d*t \end{equation}\begin{equation} J = N * d *t \end{equation}\begin{equation} i*t*V_d = N * d *t \end{equation}\begin{equation} i = \frac{N}{V_d} * d \end{equation}\begin{equation} i = \frac{N}{N-D} * d \end{equation}\begin{equation} i = \frac{N}{N-N*d*t} * d \end{equation}\begin{equation} i = \frac{1}{1-d*t} * d \end{equation}\begin{equation} i = \frac{d}{1-d*t} \end{equation}

Exemplos

Se a taxa de desconto comercial for de 4% a.m. e o prazo de vencimento de uma duplicata for de três meses, qual a taxa mensal de juros simples da operação?

  • d = 4%
  • t = 3
\begin{equation} i = \frac{0,04}{1-0,04*3} = 0,0455 = 4,55\% a.m. \end{equation}

Uma duplicata com prazo de vencimento de dois meses for descontada em um banco, proporcionando-lhe uma taxa efetiva de juros simples igual a 3% a.m. Qual a taxa de desconto utilizada?

  • i = 3%
  • t = 2
\begin{equation} 0,03 = \frac{d}{1-d*2} \end{equation}\begin{equation} 0,03*(1 - 2*d) = d \end{equation}\begin{equation} 0,03 - 0,06*d = d \end{equation}\begin{equation} 0,03 = 1,06*d \end{equation}\begin{equation} d = \frac{0,03}{1,06} = 0,0283 = 2,83\% \end{equation}

Erros de aproximação na vida real

Cuidado ao aproximar sempre!

Links para erros que causaram desastre histórico:

Exercícios

  1. Calcule o valor da taxa mensal de juros usada numa operação de desconto de 60 dias de um título cujo valor de resgate é $10.000,00 e cujo valor do principal é de \$9.750,00.
  2. Calcule o valor do desconto simples de um título de \$1.000,00, com vencimento para 60 dias, sabendo-se que a taxa de desconto “por dentro” é de 1,2% ao mês.
  3. Um título com valor de resgate de \$1.000,00, com 80 dias a decorrer até seu vencimento, está sendo negociado a juros simples, com uma taxa de desconto “por fora” de 15% ao ano. Calcule:
    1. o valor do principal desse título;
    2. o valor do desconto simples; e
    3. a rentabilidade mensal desse título, até seu vencimento.
  4. Imagine que o título do Problema 2 seja vendido com a garantia de recompra num prazo de três dias, e que nessa operação de três dias seja assegurada uma rentabilidade de 1,2% ao mês. Calcule:
    1. o valor do título por ocasião da recompra; e
    2. a rentabilidade mensal e a taxa de desconto anual (“por fora”) desse título para o seu prazo remanescente de 77 dias a decorrer até seu vencimento.
  5. Um investidor aplicou um principal de \$1.000,00 para receber um montante de \$1.300,00 no prazo de 36 meses. Calcule, no regime de juros simples:
    1. a rentabilidade trimestral do investidor; e
    2. a taxa de desconto mensal (“por fora”) que corresponde à rentabilidade do item a.
  6. Um banco comercial empresta \$15.000,00 a um cliente, pelo prazo de três meses, com uma taxa de 1% ao mês, juros simples, cobrados antecipadamente. Dessa forma, o valor líquido liberado pelo banco é de $14.550,00, e o cliente deve pagar os \$15.000,00 no final do 3o mês. Além disso, o banco exige um saldo médio de \$1.500,00 ao longo de todo o prazo do empréstimo. Calcule a taxa de rentabilidade mensal do banco nessa operação, a juros simples.
  7. Uma empresa deseja descontar títulos num banco comercial que opera com uma taxa de desconto comercial de 1% ao mês, juros simples. O primeiro título tem um valor de \$10.000,00 e vencimento no prazo de 90 dias. O segundo título tem um valor de \$10.000,00 e vencimento no prazo de 180 dias. Calcule o valor a ser creditado pelo banco na conta dessa empresa, pelo desconto desses títulos.
  8. Uma empresa obtém num banco comercial um empréstimo de \$10.000,00, com uma taxa de 1,2% ao mês (desconto “por dentro”), juros simples, que pode ser liquidado no final de cada mês. Decorridos três meses, essa empresa resolve liquidar esse empréstimo com recursos obtidos, no mesmo banco, por meio de um novo empréstimo, com uma taxa de 1% ao mês, também a juros simples. Decorridos alguns meses, a empresa decide liquidar o segundo empréstimo e verifica que o total de juros acumulados nos dois empréstimos é de $981,60. Calcule:
    1. o valor do segundo empréstimo suficiente para liquidar o primeiro;
    2. o valor do pagamento final para liquidar o segundo empréstimo;
    3. o prazo do segundo empréstimo; e
    4. a taxa média mensal, a juros simples, paga pela empresa, considerando os dois empréstimos em conjunto.
  9. Um investidor deposita uma determinada importância numa instituição financeira. No final de quatro meses, ao encerrar sua conta, verifica que o mon tante acumulado até aquela data totaliza \$10.480,00. Esse mesmo valor é então depositado em outra instituição financeira, por um prazo de cinco meses. No final desse período, o montante acumulado na segunda instituição é igual a \$11.108,80. Sabendo-se que as duas instituições operam com juros simples e remuneram seus depósitos com a mesma taxa, calcule:
    1. a taxa mensal de juros simples das duas instituições; e
    2. o valor do depósito inicial na primeira instituição.
  10. Um banco comercial realiza suas operações de desconto de títulos com uma taxa de desconto de 1,2% ao mês (“por fora”), porém exige um saldo médio de 20% do valor da operação, como forma de reciprocidade bancária. Esse banco foi procurado por uma empresa para descontar \$100.000,00 de títulos, todos com vencimento de 90 dias. Considerando o mês com 30 dias, calcule o valor a ser creditado na conta da empresa e a rentabilidade mensal do banco, a juros simples, sem o saldo médio e com o saldo médio.

Resolução

  1. 1,282%
  2. \$23,44
  3. PV = \$966,67; b) Desconto = \$33,33; c) i = 1,293% ao mês
  4. a) FV = $967,83; b) i = 1,295% ao mês; d = 15,04% ao ano
  5. a) i = 2,5% ao trimestre; b) d = 7,6923% ao ano
  6. i = 1,1494% ao mês
  7. PV = \$19.100,00
  8. a) PV 2 = \$10.360,00; b) FV 2 = \$10.981,60; c) n 2 = 6 meses; d) i médio = 1,097 % ao mês
  9. a) i = 1,2% ao mês; b) PV 1 = \$10.000,00
  10. 1,5707%
In [ ]:
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