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Matemática Financeira - Aula 2

Aula 02 - Juros simples

Juros simples

Relações básicas

Chamando de C o capital, M o montante, J o juro e i a taxa(do inglês, interest, que significa juro), temos as seguintes relações, de acordo com o que definimos: [2]

\begin{equation} J = Ci \end{equation}

Ou:

\begin{equation} i = \frac{J}{C} \end{equation}

Também temos as seguintes equações:

\begin{equation} M = C + J \end{equation}\begin{equation} M = C + Ci \end{equation}\begin{equation} M = C * (1 + i) \end{equation}\begin{equation} \frac{M}{C} = 1 + i \end{equation}

Quando falamos de mais de um período de tempo, devemos introduzir o n na fórmula, que corresponde a n períodos de tempo:

\begin{equation} J = Cin \end{equation}

ou:

\begin{equation} i = \frac{J}{Cn} \end{equation}

A fórmula do montante é imediata:

\begin{equation} M = C + J \end{equation}\begin{equation} M = C + Cin \end{equation}\begin{equation} M = C * (1 + in) \end{equation}\begin{equation} \frac{M}{C} = 1 + in \end{equation}

Exemplos

Um capital de R\$5.000,00 foi aplicado a juros simples, durante 3 anos, à taxa de 12% a.a. Obtenha o juro e o montante

\begin{equation} J = 5.000 * (0,12) * 3 = 1.800 \end{equation}\begin{equation} M = 5.000 + 1.800 = 6.800 \end{equation}

Uma televisão é vendida à vista por R\$1.500,00 ou, então, a prazo com R\$300,00 de entrada mais uma parcela de R\$ 1.308,00 após três meses. Qual a taxa mensal de juros simples do financiamento?

\begin{equation} \text{Capital financiado: } C = 1.500 - 300 = 1.200 \end{equation}\begin{equation} \text{Montante: } M = 1.308 \end{equation}\begin{equation} \text{Juro: } J = 1.308 - 1200 = 108 \end{equation}

Assim:

\begin{equation} 108 = 1.200 * i * 3 \end{equation}\begin{equation} i = \frac{108}{1200 * 3} = 0,03 = 3\% a.m. \end{equation}

Taxas equivalentes

Na fórmula dos juros simples, sabemos que o prazo deve ser expresso na mesma unidade da taxa. O inverso também pode ser adotado, ou seja, podemos expressar a taxa na mesma unidade do prazo; para isto, devemos saber como converter taxas de um período para outro de modo que sejam equivalentes. [2]

Dizemos que duas taxas são equivalentes, quando aplicadas em um mesmo capital e durante um mesmo prazo, produzem juros iguais.

Nos juros simples, basta multiplicar pelo tempo equivalente ou dividir.

Exemplos

Em juros simples, qual a taxa anual equivalente a 1% a.m.?

\begin{equation} C * i_{anual} * 1 = C * (0,01) * 12 \end{equation}\begin{equation} i_{anual} = (0,01) * 12 = 12\% a.a. \end{equation}

Notemos que, se tivéssemos adotado outro prazo, por exemplo, dois anos, chegaríamos ao mesmo resultado. A equação correspondente seria:

\begin{equation} C * i_{anual} * 2 = C * (0,01) * 24 \end{equation}\begin{equation} i_{anual} = \frac{(0,01) * 24}{2} = 12\% a.a. \end{equation}

Qual a taxa anual de juros simples que um fundo de investimento rendeu, sabendo-se que o capital aplicado foi de R\$ 5.000,00 e que o valor de resgate foi de R\$ 5.525,00 após sete meses?

\begin{equation} J = M - C = 5.525 - 5.000 = 525 \end{equation}\begin{equation} i_{mensal} = \frac{J}{C * n} = \frac{525}{5.000 * 7} = 0,015 = 1,5\% a.m. \end{equation}\begin{equation} i_{anual} = 12 * i_{mensal} = 12 * 1,5\% = 18\% a.a. \end{equation}

Juro exato e juro comercial

É muito comum haver operações financeiras que ocorrem por um ou alguns dias apenas. Neste caso, devemos usar a taxa diária equivalente. Pode-se utilizar duas convenções:

  • Considerando o ano civil, que tem 365 dias (ou 366), e cada mês com seu número real de dias.
  • Considerando o ano comercial, com 360 dias, e cada mês comercial com 30 dias.

O primeiro juros é chamo de juros exatos enquanto o segundo é chamado de juros comerciais. Em geral, se adota os juros comerciais.

Operações de hot money que são operações de empréstimo de curtíssimo prazo normalmente utilizam juros compostos sendo as taxas dadas em termos mensais. Frequentemente, essas operações são feitas em um único dia útil, com eventuais renovações caso necessário, visando suprir necessidades momentâneas de caixa das empresas.

Exemplos

Um capital de R\$ 5.000,00 foi aplicado por 42 dias à taxa de 30\% a.a. no regime de juros simples. Obtenha os juros exatos e os juros comerciais.

\begin{equation} J_{exatos} = \frac{5.000 * 0,30 * 42}{365} = 172,60 \end{equation}\begin{equation} J_{comerciais} = \frac{5.000 * 0,30 * 42}{360} = 175,00 \end{equation}

Um capital de R\$ 4.000,00 foi aplicado a juros simples por 72 dias; um outro capital de R\$ 5.000,00 foi também aplicado a juros simples, à mesma taxa, durante 45 dias. Determine a taxa anual (convenção de juros comerciais), sabendo-se que a diferença entre os juros da 1º aplicação e da 2º é igual a R\$ 31,50.

\begin{equation} J_{1º} = 4.000 * i * 72 = 288.000i \end{equation}\begin{equation} J_{2º} = 5.000 * i * 45 = 225.000i \end{equation}

Portanto:

\begin{equation} 288.000i - 225.000i = 31,50 \end{equation}\begin{equation} 63.000i = 31,50 \end{equation}\begin{equation} i = \frac{31,50}{63.000} = 0,0005 = 0,05\% a.d. \end{equation}

Exercícios [1]

  1. Um empréstimo no valor de \$ 28.000 pelo prazo de 121 dias foi fechado com a taxa de juro de 16% aos 365 dias, com a condição de pagar o juro junto com a devolução do empréstimo. Calcule o pagamento final com juros simples.
  2. Refaça o Exercício 1 considerando a mesma taxa de juro simples de 16% com período de 360 dias.
  3. Para atrair o cliente, o lojista informa que financia as compras em até 60 dias com juro simples e taxa de juro de 43% aos 365 dias. Se um cliente comprou \$2.650 em mercadorias diversas e quer pagar após 40 dias da data da compra, calcule o valor a ser recebido pelo lojista.
  4. O banco financiou \$20.000 pelo prazo de 12 meses com uma taxa de juro de 3,5% ao mês. Calcule o juro e o valor do pagamento final considerando juro simples.
  5. Do investimento de \$85.000 realizado com taxa de juro de 30% aos 360 dias serão recebidos juros a cada 60 dias corridos no regime de juros simples. Calcule o valor do juro periódico.
  6. O investimento de \$24.000 pelo prazo de 182 dias foi fechado com a taxa de juro de 23,5% aos 365 dias. Calcule o juro e o resgate desse investimento no regime de juro simples.
  7. Conhecida a taxa de juro de 29% aos 360 dias, calcule a taxa proporcional de juro aos 60 dias.
  8. Conhecida a taxa diária de juro de 0,045%, calcule a taxa proporcional de juro aos 360 dias.
  9. O fabricante financia o pagamento da venda em até 60 dias da data da compra com acréscimo de juros calculados com a taxa de juro de 78% aos 365 dias considerando juros simples. Se o valor da mercadoria é \$3.250 e o comprador pagará 35 dias depois da data da compra, calcule o valor a ser recebido pelo fabricante.
  10. Foram emprestados \$15.000 pelo prazo de 12 meses na taxa de juro de 4% ao mês. Calcule o juro e o valor do pagamento final considerando juros simples.
  11. Depois de 210 dias foram resgatados $97.614 de um investimento de \$85.000. Calcule a taxa de juro com período de 30 dias no regime de juros simples.
  12. Roberto emprestou \$25.000 com a promessa de receber antes de três meses o valor emprestado mais os juros correspondentes na taxa de juro de 55% aos 365 dias. Considerando juros simples, calcule o prazo desse empréstimo se Roberto recebeu \$27.561,64.
  13. O investidor recebe juros de \$733,68 cada 31 dias. Calcule o valor do investimento considerando a taxa de juro de 24% aos 360 dias no regime de juros simples.
  14. Você investiu \$100.000 com taxa de juro de 30% aos 360 dias e com a condição de receber juros a cada 90 dias. Calcule o valor dos juros no regime de juros simples.
  15. Foram investidos \$100.000 durante 300 dias no regime de juros simples com taxa de juro de 2,85% aos 30 dias. Calcule o valor do resgate considerando o regime de juros simples.
  16. Foram aplicados \$20.000 pelo prazo de 192 dias seguidos. Calcule o valor do resgate considerando a taxa de juro constante de 1,04% aos 31 dias no regime de juros simples.
  17. De um investimento de \$40.000 foram resgatados \$46.496. Se o prazo desse investimento foi de 290 dias no regime de juros simples, calcule a taxa de juro com período de 30 dias.
  18. Foram resgatados \$121.650,06 de um investimento realizado com taxa de juro de 7,23% aos 181 dias. Calcule o capital investido se o prazo do investimento foi de 542 dias no regime de juros simples.
  19. Calcule o prazo do empréstimo realizado com as seguintes características: valor emprestado \$32.000, valor devolvido $38.552, taxa de juro de 2,45% aos 28 dias no regime de juros simples.

Resolução

  1. \$29.485,15.
  2. \$29.505,78.
  3. \$2.774,88.
  4. \$8.400 e \$28.400.
  5. \$4.250,00.
  6. \$11.967,71 e \$35.967,12.
  7. 4,833% aos 60 dias
  8. 16,20% aos 360 dias
  9. \$3.493,08
  10. J = $7.200 e M = $22.200
  11. i = 2,12% aos 30 dias
  12. n = 68 dias
  13. Com a taxa de juro i = 2,0667% aos 31 dias, C = $35.500,65
  14. J = $7.500,00
  15. M = $128.500
  16. M = $21.288,26
  17. i = 1,68% aos 30 dias
  18. C = $100.000
  19. n = 234 dias

Referências

[1] LAPPONI, Juan Carlos. Matemática financeira. 1998.

[2] HAZZAN, Samuel; POMPEO, José Nicolau. Matemática financeira. Saraiva, 2007.

In [ ]: