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Matemática Financeira - Aula 13

Aula 13 - Sistema Francês e Sistema Americano

Sistema Francês e Sistema Americano

Introdução

Seguiremos nesta aula discutindo a amortização conforme os sistemas adotados nos países ou situações.

Sistema Francês (ou sistema price)

De acordo com Poitras (2000), o sistema francês foi desenvolvido pelo matemático e físico belga Simon Stevin, no século XVI. Todavia, foi utilizado pelo economista e matemático inglês Richard Price, no século XVIII, no cálculo previdenciário inglês da época. Dessa forma, ficou conhecido no Brasil como Sistema Price.

Nesse sistema, as prestações são iguais e periódicas, a partir do instante em que começam a ser pagas.

Assim, considerando um principal P a ser pago nos instantes 1, 2, 3,…, t, a uma taxa de juros i (expressa na unidade de tempo da periodicidade dos pagamentos), as prestações sendo constantes constituem uma sequência uniforme em que cada parcela é indicada por R. Lembrando:

\begin{equation} V_m = R [\frac{(1 + i)^t - 1}{(1 + i)^t*i}]\end{equation}

Quando desejamos calcular o saldo devedor, em um determinado instante, no sistema francês, o procedimento consiste no seguinte: calculamos o valor atual das prestações a vencer. Com isso, eliminamos o valor dos juros contidos nas prestações. Assim, esse valor atual corresponde ao saldo a ser amortizado, ou seja, é o saldo devedor.

Exemplos

Um empréstimo de R\$ 800.000,00 foi obtido por uma empresa por ocasião da compra de um prédio. O empréstimo deve ser devolvido pelo sistema francês em cinco prestações semestrais à taxa de 4% a.s. Obtenha a planilha.

Semestre Saldo devedor Amortização Juros Prestação
0 800.000 - - -
1 652.298,30 147.701,70 32.000 179.701,70
2 498.688,53 153.609,77 26.091,93 179.701,70
3 338.934,37 159.754,16 19.947,54 179.701,70
4 172.790,04 166.144,33 13.557,37 179.701,70
5 - 172.790,04 6.911,60 179.701,70
Total - 50.000 98.508,44 898.508,44

Em um empréstimo de R\$ 100.000,00 a ser pago pelo sistema francês, em 40 meses e à taxa de 3% a.m., qual o saldo devedor no 25º mês? (Supor paga a prestação deste mês.)

\begin{equation} V_m = R [\frac{(1 + i)^t - 1}{(1 + i)^t*i}]\end{equation}\begin{equation} 100.000 = R [\frac{(1 + 0,03)^{40} - 1}{(1 + 0,03)^{40}*0,03}]\end{equation}\begin{equation} 100.000 = R * 23,114772 \end{equation}\begin{equation} R = \frac{100.000}{23,114772} = 4.326,24 \end{equation}

O saldo devedor no 25º mês é o valor atual da sequência uniforme das prestações a vencer (15 prestações):

\begin{equation} V_m = R [\frac{(1 + i)^t - 1}{(1 + i)^t*i}]\end{equation}\begin{equation} V_m = 4.326,24 [\frac{(1 + 0,03)^{15} - 1}{(1 + 0,03)^{15}*0,03}] = 51.646,37 \end{equation}

Sistema americano

Por este sistema, o pagamento do principal é feito de uma só vez, no final do período do empréstimo. Em geral, os juros são pagos periodicamente; entretanto, podem eventualmente ser capitalizados e pagos de uma só vez, junto com o principal (tudo depende do acordo entre as partes interessadas).

Exemplos

Por um empréstimo de 800 mil dólares, um cliente propõe-se a devolver o principal daqui a dois anos e meio, pagando semestralmente somente os juros à taxa de 4% a.s. Obtenha a planilha.

Semestre Saldo devedor Amortização Juros Prestação
0 800.000 - - -
1 800.000 - 32.000 32.000
2 800.000 - 32.000 32.000
3 800.000 - 32.000 32.000
4 800.000 - 32.000 32.000
5 - 800.000 32.000 832.000
Total - 800.000 160.000,00 960.000,00

Exercícios

1) Um banco libera um crédito de R\$ 60.000,00 a uma empresa, para pagamento pelo Sistema Price em 20 trimestres, sendo a taxa de 6% a.t. Obtenha a planilha até o terceiro trimestre.

2) Na compra de um apartamento, o Sr. Almeida recebeu um empréstimo de R\$ 280.000,00, que deverá ser pago pelo sistema Price em 240 meses à taxa de 0,9% a.m. Qual o saldo devedor após o pagamento da 51a prestação?

3) O senhor Moura recebeu um financiamento de R\$ 500.000,00 para a compra de uma casa, sendo adotado o Sistema Price à taxa de 1,5% a.m. para pagamento em 180 meses. Qual o estado da dívida após o pagamento da 64a prestação? (despreze os centavos)

4) O valor de R\$ 1.500.000,00 é financiado à taxa de 10% a.a., para ser amortizado pelo sistema americano, com três anos de carência nas amortizações. Sabendo-se que os juros são pagos anualmente, construa a planilha.

5) Uma pessoa obteve um empréstimo de R\$ 120.000,00 a uma taxa de juros compostos de 2% ao mês, que deverá ser pago em 10 parcelas iguais. O valor dos juros a serem pagos na 8a parcela é de?

6) (BNDES) Assina-le a opção correta. O Sistema Francês de Amortização é caracterizado por:

a) Juros crescentes e prestação crescente.
b) Prestação decrescente e juros crescentes.
c) Amortização e juros decrescentes.
d) Juros e amortização crescentes.
e) Amortização crescente e prestação constante.


7) O valor de 3.600 UR pode ser financiado pelo sistema SAC ou pelo sistema francês. Sabendo-se que a taxa de juros é de 1% a.m. e que serão pagas 180 prestações mensais, obtenha:

a) O valor da prestação pelo sistema francês.
b) Os valores das três primeiras prestações pelo sistema SAC.
c) O mês a partir do qual a prestação pelo SAC torna-se inferior à prestação pelo sistema francês.

Gabarito

2) R\$ 258.624,97

3) R\$ 441.370,00

5) R\$ 770,00

6) E

7) a) 43,21 UR; b) 56 UR; 55,80 UR; 55,60 UR; c) 65º mês.

In [ ]: