× Estatística 1 Estatística 2 Matemática Financeira Logística 1 Administração Financeira Logística 2

open

Matemática Financeira - Aula 12

Aula 12 - Amortização de empréstimos

Amortização de empréstimos

Introdução

Requentemente, nas operações de médio e longo prazo, por razões metodológicas ou contábeis, as operações de empréstimos são analisadas período por período, no que diz respeito ao pagamento dos juros e à devolução propriamente dita do capital emprestado também chamado de principal.

Amortização

Vamos começar definindo alguns elementos para este estudo. Em primeiro lugar, vamos definir saldo devedor (ou estado da dívida), por recorrência.

Consideremos os instantes de tempo 0, 1, 2,…, n, na unidade expressa pela taxa de juros (em tudo o que segue, admitiremos o regime de capitalização composta). Seja P o valor do principal (ou capital inicial emprestado). O saldo devedor no instante zero (0) indicado por S0 é o próprio principal P, e o saldo devedor no instante t é igual ao saldo devedor no instante anterior (t − 1), acrescido dos juros produzidos por ele, menos o pagamento feito no instante t.

Vamos usar a seguinte notação:

  • St: saldo devedor no instante t

  • St−1: saldo devedor no instante (t − 1)

  • i: taxa de juros

  • Rt: pagamento efetivado no instante t

  • Jt: juros no período que vai de (t − 1) a t

Assim, teremos simbolicamente:

\begin{equation} S_t = S_{t-1} + J_t - R_t \end{equation}

Se os juros produzidos em cada período são pagos no final do período e se chamarmos de amortização no instante t (indicada por At) à diferença entre Rt e Jt, teremos:

\begin{equation} A_t = R_t - J_t \end{equation}

A amortização é quanto de fato está pagando do valor de seu empréstimo: valor da parcela menos os juros.

\begin{equation} S_t = S_{t-1} - A_t \end{equation}

Em outras palavras, o principal, em seu valor presente, será a soma das amortizações:

\begin{equation} VP = A_1 + A_2 + A_3 + ... + A_t \end{equation}

Assim, existem inúmeras sequências de amortizações que têm por soma o principal.

Cumpre observar que o nome prestação é utilizado para representar o pagamento acrescido de impostos e outros encargos. Desconsiderando-se esses impostos e encargos, a prestação se reduz ao pagamento Rt, que é igual à soma da amortização com o juro em cada período.

Finalmente, damos o nome de planilha a um quadro demonstrativo em que comparecem, em cada instante de tempo, o juro, a amortização, o saldo devedor, a prestação, os impostos e outros encargos.

Exemplos

Um empréstimo de R\$ 50.000,00 deve ser devolvido em quatro prestações semestrais à taxa de juros de 5% a.s., com juros pagos semestralmente. Obtenha a planilha, sabendo-se que as amortizações são semestrais, com os seguintes valores:

  • A1 = 5.000
  • A3 = 15.000
  • A2 = 10.000
  • A4 = 20.000
Semestre Saldo devedor Amortização Juros Prestação
0 50.000 - - -
1 45.000 5.000 2.500 7.500
2 35.000 10.000 2.250 12.250
3 20.000 15.000 1.750 16.750
4 - 20.000 1.000 21.000
Total - 50.000 7.500 57.500

Um empréstimo de R\$ 50.000,00 deve ser devolvido em quatro prestações semestrais à taxa de juros de 5% a.s., com juros pagos semestralmente. Obtenha a planilha, sabendo-se que as amortizações semestrais são iguais.

  • A1 = A2 = A3 = A4 = 50.000/4 = 12.500
Semestre Saldo devedor Amortização Juros Prestação
0 50.000 - - -
1 37.500 12.500 2.500 15.000
2 35.000 12.500 1.875 14.375
3 20.000 12.500 1.250 13.750
4 - 12.500 625 13.125
Total - 50.000 6.250 56.250

Um empréstimo de R\$ 50.000,00 deve ser devolvido em quatro prestações semestrais à taxa de 5% a.s., com juros pagos semestralmente. Obtenha a planilha, sabendo-se que:

  • A1 = 0
  • A3 = 0
  • A2 = 0
  • A4 = 50.000
Semestre Saldo devedor Amortização Juros Prestação
0 50.000 - - -
1 50.000 0 2.500 2.500
2 50.000 0 2.500 2.500
3 50.000 0 2.500 2.500
4 - 50.000 2.500 52.500
Total - 50.000 10.000 60.000

Sistema de amortizações constantes (SAC)

Entre as inúmeras maneiras que existem para se amortizar o principal, o sistema de amortizações constantes (SAC) é um dos mais utilizados na prática. Tal sistema consiste em se fazer que todas as parcelas de amortização sejam iguais. Assim, considerando um principal P a ser amortizado em n parcelas A1, A2, A3,…, At, e supondo pagamento dos juros em todos os períodos, teremos:

\begin{equation} A_1 = A_2 = A_3 = A_4 = \frac{P}{t} = A_5 = ... = A_t \end{equation}

O valor das prestações é dado por:

\begin{equation} R_1 = A_1 + J_1 = A_1 + P*i \end{equation}\begin{equation} R_2 = A_2 + J_2 = A_2 + (P - A_1)*i \end{equation}\begin{equation} R_3 = A_3 + J_3 = A_3 + (P - A_2 - A_1)*i \end{equation}\begin{equation} R_4 = A_4 + J_4 = A_4 + (P - A_3 - A_2 - A_1)*i \end{equation}\begin{equation} R_t = A_4 + J_4 = A_{t-1} + (P - (t - 1) * A_t)*i \end{equation}

Como A é constante:

\begin{equation} R_t = A + (P - (t - 1) * A)*i \end{equation}

Exemplos

Um empréstimo de 800 mil dólares deve ser devolvido em cinco prestações semestrais pelo SAC à taxa de 4% a.s. Obtenha a planilha.

Semestre Saldo devedor Amortização Juros Prestação
0 800 - - -
1 640 160 32 192
2 480 160 25,60 185,60
3 320 160 19,20 179,20
4 160 160 12,80 172,80
5 - 160 6,40 166,4
Total - 800 96 896

Exercícios

1) Um empréstimo de R\$ 21.000,00 deve ser pago em seis prestações semestrais à taxa de 8% a.s. Obtenha a planilha, sabendo-se que as amortizações semestrais têm os seguintes valores: 1.000, 2.000, 3.000, 4.000, 5.000 e 6.000.

2) Um banco libera para uma empresa um crédito de R\$ 120.000,00 para ser devolvido pelo SAC em seis parcelas trimestrais. Obtenha a planilha, sabendo-se que a taxa de juros é de 5% a.t.

3) Um empréstimo de R\$ 40.000,00 deve ser devolvido pelo SAC em 40 prestações mensais. Sabendo-se que a taxa de juros é de 2% a.m., obtenha a amortização, os juros, a prestação e o saldo devedor correspondentes ao 21º mês.

4) Um empréstimo de 250 mil dólares deve ser devolvido pelo SAC em 50 prestações mensais, sendo de 2% a.m. a taxa de juros cobrada. Pede-se: e valor da segunda prestação e e valor da 37º prestação.

Gabarito

3) Amortização: R\$ 1.000,00; Juros: R\$ 400,00; Prestação: R\$ 1.400,00; Saldo devedor: R\$ 19.000,00.

4) 9.900 dólares e 6.400 dólares.

In [ ]: