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Matemática Financeira - Aula 10

Aula 10 - Sequências uniformes

Sequências uniformes

Introdução

Vimos, nas aulas anteriores, de que forma conjuntos de valores podiam ser transformados em outros equivalentes, para efeito de comparação, especialmente transformando-os em valores presentes.

Na prática, é comum que esses conjuntos tenham algumas características, tais como periodicidade, uniformidade, crescimento (ou decrescimento), de acordo com certas leis matemáticas. Tais conjuntos são chamados de sequências de valores monetários (os valores tanto podem referir-se a pagamentos como a recebimentos).

Sequência uniforme

Consideremos a sequência de valores y1, y2, y3,…, yt, respectivamente nas datas 1, 2, 3, …, n (a unidade de tempo pode ser mês, semestre, ano etc.). Dizemos que esse conjunto constitui uma sequência uniforme se todos os yt possuirem o mesmo valor.

Por definição, o valor atual dessa sequência na data 0 (isto é, um período de tempo antes do início da sequência), a uma taxa de juros i, na unidade de tempo considerada, é:

\begin{equation} V = \frac{R}{(1+i)^{1}} + \frac{R}{(1+i)^{2}} + ... +\frac{R}{(1+i)^{t}} \end{equation}\begin{equation} V = R [\frac{1}{(1+i)^{1}} + \frac{1}{(1+i)^{2}} + ... +\frac{1}{(1+i)^{t}}] \end{equation}

O valor entre colchetes poderia ser calculado somando-se termo a termo; contudo, para um valor alto de n, tal procedimento seria demorado.

Simplificações podem ser feitas se notarmos que a expressão entre colchetes é a soma dos termos de uma progressão geométrica (PG) cujo primeiro termo (a1) é igual a \begin{equation} \frac{1}{(1+i)}\end{equation} e cuja razão :

\begin{equation} \frac{1}{(1+i)}\end{equation}

A matemática elementar nos ensina que a soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica, em que a razão é diferente de 1, é dada por:

\begin{equation} S = \frac{a_1 *(q^n -1)}{(q - 1)}\end{equation}

Ao final, consideram a primeira parcela e a razão já dita:

\begin{equation} S = \frac{(1 + i)^n - 1}{(1 + i)^n*i}\end{equation}

E o valor presente:

\begin{equation} V = R [\frac{(1 + i)^n - 1}{(1 + i)^n*i}]\end{equation}

Exemplos

Um eletrodoméstico é vendido a prazo, em quatro pagamentos mensais e iguais de R\$ 550,00 cada, vencendo o primeiro um mês após a compra. Se a loja financia a uma taxa de juros de 5% a.m., qual seu preço à vista?

n = 4

i = 5% a.m.

R = 550

\begin{equation} V = R [\frac{(1 + i)^n - 1}{(1 + i)^n*i}]\end{equation}\begin{equation} V = 550 [\frac{(1 + 0,05)^4 - 1}{(1 + 0,05)^4*0,05}] = 1.920,27 \end{equation}

Um automóvel usado é vendido à vista por R\$ 30.000,00, mas pode ser vendido a prazo em 12 prestações mensais iguais, vencendo a primeira um mês após a compra. Sabendo-se que a taxa de juros do financiamento é de 2% a.m., obtenha o valor de cada prestação.

V = 30.000

n = 12

i = 2% a.m.

\begin{equation} V = R [\frac{(1 + i)^n - 1}{(1 + i)^n*i}]\end{equation}\begin{equation} 30.000 = R [\frac{(1 + 0,02)^12 - 1}{(1 + 0,02)^12*0,02}] \end{equation}\begin{equation} 30.000 = R * 10,5753 \end{equation}\begin{equation} R = \frac{30.000}{10,5753} = 2.836,79 \end{equation}

Um terreno é vendido em quatro prestações mensais e iguais de R\$ 150.000,00 cada uma, sendo a primeira dada como entrada. Se a taxa do financiamento for 4% a.m., qual o preço à vista?

entrada = 150.000

R = 150.000

n = 3

i = 4% a.m.

\begin{equation} V = R_0 + R [\frac{(1 + i)^n - 1}{(1 + i)^n*i}]\end{equation}\begin{equation} V = 150.000 + 150.000 [\frac{(1 + 0,04)^3 - 1}{(1 + 0,04)^3*0,04}]\end{equation}\begin{equation} V = 150.000 + 150.000*2,775 = 566.263,65\end{equation}

Qual a taxa interna de retorno de um investimento de 5.000 reais para receber logo depois 12 parcelas mensais de 500 reais?

investimento = 5.000

R = 500

n = 12

\begin{equation} V = -5000 + 500 [\frac{(1 + i)^n - 1}{(1 + i)^n*i}]\end{equation}

Assim:

TIR Valor presente
1% 627,53
2% 287,67
3% -22,99

Presuma-se que o TIR estará entre 2% e 3%. Pelo ponto médio, a TIR será aproximadamente 2,5%.

Exercícios

1) Obtenha o preço à vista de um automóvel financiado à taxa de 3% a.m., sendo o número de prestações igual a 10 e R\$ 4.500,00 o valor de cada prestação mensal, vencendo a primeira um mês após a compra.

2) Um carro é vendido à vista por R\$ 40.000,00 ou a prazo em três prestações mensais iguais, sem entrada. Qual o valor de cada prestação se a taxa de juros do financiamento for de 1,9% a.m.?

3) Um barco é vendido à vista por R\$ 16.000,00 ou, então, com 20% de entrada mais quatro prestações mensais e iguais. Qual o valor de cada prestação se a taxa de juros for de 2% a.m.?

4) Uma motocicleta é vendida em cinco prestações mensais de R\$ 2.000,00 cada uma, sendo a primeira dada como entrada. Qual o preço à vista se a taxa de juros do financiamento for de 2,5% a.m.?

5) Um microcomputador é vendido à vista por R\$ 2.500,00 ou, então, em quatro prestações mensais e iguais, sendo a primeira dada como entrada. Qual o valor de cada prestação se a taxa de juros for de 2,2% a.m.?

6) Um apartamento, cujo preço à vista é de R\$ 100.000,00, é vendido a prazo com 30% de entrada e o saldo em 100 prestações mensais iguais posteriormente corrigidas monetariamente. Qual o valor de cada prestação antes da correção se a taxa de juros do financiamento for de 1% a.m.?

7) O aluguel mensal de um apartamento é R\$ 2.000,00, reajustável a cada seis meses. Se o locatário, ao fechar o contrato de aluguel, quiser quitar antecipadamente o aluguel dos seis primeiros meses, qual o valor a ser pago se a taxa de juros for de 2,3% a.m.?

8) Uma determinada empresa precisa tomar uma decisão: comprar uma máquina à vista por R\$ 980.000,00 ou a prazo em 12 prestações mensais postecipadas de R\$ 99.630,00. Sabendo-se que a taxa para aplicação oscila entre 2% a.m. e 3% a.m., qual a melhor alternativa para a empresa?

9) Um banco concede um empréstimo a uma empresa no valor de R\$ 60.000,00 para ser pago em quatro prestações mensais iguais postecipadas de R\$ 16.850,00 cada uma. Qual a taxa de juros do financiamento?

10) O preço à vista de um aparelho de som é de R\$ 820,00. A prazo, o pagamento poderá ser feito em cinco prestações mensais iguais postecipadas de R\$ 198,00 cada uma. Qual a taxa mensal de juros do financiamento?

11) Uma grande empresa faz um empréstimo em um determinado banco a uma taxa de 3,5% a.m. Sabendo-se que o valor emprestado é de R\$ 10.000,00, devendo ser pago em 24 prestações mensais iguais, vencendo a primeira um mês após o empréstimo, e sabendo-se que o banco cobra uma taxa de abertura de crédito igual a 2% do valor emprestado, calcule o valor de cada prestação e a taxa efetivamente paga pela empresa.

Gabarito

1) R\$ 38.385,91

2) R\$ 13.843,18

3) R\$ 3.361,58

4) R\$ 9.523,95

5) R\$ 645,55

6) R\$ 1.110,60

7) R\$ 11.090,32

8) À vista.

9) 4,82% a.m.

10) 6,63% a.m.

11) R\$ 622,73; 3,69% a.m.

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