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Estatística 2 - Aula 2

Aula 2 - Eventos complementares, independentes e mutuamente exclusivos

Eventos complementares, independentes e mutuamente exclusivos

Fenômeno aleatório

É aquele que repetido várias vezes, apresenta resultados imprevisíveis.

Ex..: Ao lançarmos um dado podemos obter qualquer uma das faces. Não é possível se prever qual será.

Espaço amostral

É o conjunto universo de todos os resultados possíveis do fenômeno aleatório. É representado por U.

Ex.: No lançamento do dado U = {1,2,3,4,5,6}.

Evento

É qualquer subconjunto do espaço amostral.

Ex.: Obter-se um par no lançamento de um dado. E= {2,4,6}.

Complementar do evento E

Chama-se complementar do evento E o evento E, tal que:

\begin{equation} \overline{E} = U - E \end{equation}

Assim, E é o conjunto dos elementos de U que não pertencem a E.

Evento impossível

\begin{equation} E = ∅ \end{equation}

Ex.: Tirar o número 7 no lançamento de um dado.

Evento certo

\begin{equation} E = U \end{equation}

É o próprio espaço amostral.

Ex.: Tirar cara ou coroa no lançamento de uma moeda.

Eventos mutuamente exclusivos

\begin{equation} E ∩ E’= ∅ \end{equation}

Tirar cara e coroa num único lançamento da moeda.

Probabilidade de que ocorra o evento E

É a razão entre o número de elementos do conjunto E e o número de elementos do conjunto universo.

\begin{equation} P(E) = \frac{n(E)}{n(U)} = \frac{\text{número de elementos do conjunto E}}{\text{número de elementos do conjunto U}} \end{equation}

Esta definição só e válida se todos os elementos de tiverem a mesma probabilidade de acontecer, isto é, se o espaço de amostragem é equiprobabilístico.

A probabilidade é um número real que varia de 0 a 1, normalmente expresso em percentagem para fácil visualização.

Exemplos

Exemplo 1: Qual é a probabilidade de se obter o número 3 no lançamento de um dado?

Solução:

\begin{equation} U = \{1,2,3,4,5,6\} \end{equation}\begin{equation} E = \{3\} \end{equation}

Resposta:

\begin{equation} P(3) = \frac{n(E)}{n(U)} = \frac{1}{6} \end{equation}

Exemplo 2: : Qual é a probabilidade de se obter um número par no lançamento de um dado?

E = {2,4,6} ---------------→ n(E) = 3

U = {1,2,3,4,5,6} -------→ n(U) = 6

\begin{equation} P(par) = \frac{n(E)}{n(U)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \end{equation}

Exemplo 3: Probabilidade de se obter “cara” no lançamento de uma moeda?

E = {cara}--------------------→ n(E) = 1

U = {cara, coroa} ----------→ n(U) = 2

\begin{equation} P(cara) = \frac{n(E)}{n(U)} = \frac{1}{2} \end{equation}

Exemplo 4 : Qual é a probabilidade de se obter soma 5 no lançamento de dois dados?

E = { (1,4) , (2,3) , (3,2) , (4,1) } --------→ n(E) = 4

U = 6x6=36 -------------------------------→ n(U) = 36

\begin{equation} P(\text{soma 5}) = \frac{n(E)}{n(U)} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9} \end{equation}

Adição de probabilidades

Sejam A e B dois eventos do conjunto universo U que apresentam uma interseção. A probabilidade de que ocorra o evento A ou o evento B é dada por:

\begin{equation} P( A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \end{equation}

Se os eventos A e B não apresentarem interseção, a probabilidade de que ocorra o evento A ou o evento B é dada por:

\begin{equation} P( A \cup B) = P(A) + P(B) \end{equation}

Exemplos

Exemplo 5: Qual é probabilidade de obter-se um 6 ou um número par de pontos no lançamento de um dado?

\begin{equation} U: \{1,2,3,4,5,6\} \end{equation}\begin{equation} \text{Evento A: {4} - probabilidade de que venha a ocorrer:} \frac{1}{6} \end{equation}\begin{equation} \text{Evento B: {2,4,6}-probabilidade de que venha a ocorrer:} \frac{3}{6} \end{equation}\begin{equation} \text{A ∪ B: {4} probabilidade de que venha a ocorrer:} \frac{1}{6} \end{equation}\begin{equation} P(A \cup B) = \frac{1}{6} + \frac{3}{6} - \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \end{equation}

Exemplo 6: Num grupo de 36 torcedores, 18 são flamenguistas, 10 são vascaínos, 6 tricolores e 2 botafoguenses. Escolhendo-se, ao acaso, um desses torcedores, qual a probabilidade de ele ser flamenguista ou botafoguense?

\begin{equation} \text{Probabilidade de ser flamenguista:} P(F): \frac{18}{36} \end{equation}\begin{equation} \text{Probabilidade de ser botafoguense:} P(B): \frac{2}{36} \end{equation}\begin{equation} \text{Probabilidade de ser flamenguista ou de ser botafoguense:} \frac{18}{36} + \frac{2}{36} = \frac{20}{36} =\frac{5}{9} \end{equation}

Multiplicação de probabilidades

Quando temos dois eventos A e B independentes, a probabilidade de que ocorra um deles e o outro é dada pela relação:

\begin{equation} P(A \cap B) = P (A) * P(B) \end{equation}

Exemplos

Exemplo 7: Em dois lançamentos de um dado, qual a probabilidade de obter número par no primeiro e número ímpar no segundo lançamento?

A: o resultado do 1º lançamento é par e B: o resultado do 2º lançamento é ímpar. Notando que A e B são independentes, pois a informação da ocorrência de A não altera a probabilidade de ocorre B, temos:

\begin{equation} P(A \cap B) = P (A) * P(B) = \frac{3}{6} * \frac{3}{6} = \frac{9}{36} = \frac{1}{4} \end{equation}

Exemplo 8: Fazendo lançamentos sucessivos de um dado até obter 6 num lançamento, qual a probabilidade de que sejam necessárias três tentativas?

Para que sejam necessárias três tentativas, a 1ª tentativa não deve obter 6 pontos, a 2ª também não e a 3ª sim. Como o resultado de cada lançamento é independente dos resultados dos demais lançamentos, a probabilidade pedida é:

\begin{equation} P(\text{dar 6 na 3º tentativa}) = \frac{5}{6} * \frac{1}{6} * \frac{5}{6} = \frac{25}{216} \end{equation}

Exemplo 11: Qual é a probabilidade de, em se lançando o dado, obtermos a face 4 duas vezes seguidas?

\begin{equation} P(\text{face 4 duas vezes seguidas}) = \frac{1}{6} * \frac{1}{6} = \frac{1}{36} \end{equation}

Exemplo 12: Numa sala há 20 moças: 3 delas são estudiosas, 11 são cariocas e 7 não têm namorado. Qual e a probabilidade de João escolher dentre ela uma que seja estudiosa, carioca e que não tenha namorado?

\begin{equation} \text{prob. de ser estudiosa} = \frac{3}{20} \end{equation}\begin{equation} \text{prob. de ser carioca} = \frac{11}{20} \end{equation}\begin{equation} \text{prob. de não Ter namorado} = \frac{7}{20} \end{equation}\begin{equation} \text{probabilidade de ser estudiosa, carioca e não ter namorado} = \frac{3}{20} * \frac{11}{20} * \frac{7}{20} = \frac{231}{8000} \end{equation}
                                        

Exercícios Propostos:

  1. No lançamento de um dado, qual é a probabilidade de se obter:
    1. número de pontos par?
    2. número de pontos menor ou igual a 4?
  2. Qual é a probabilidade de se lançar uma moeda e obter coroa?
  3. Qual é a probabilidade de se lançar um dado branco e outro azul e obter:
    1. soma dos pontos igual a 7?
    2. 2 pontos no dado azul?
  4. Qual a probabilidade de lançar duas moedas e obter resultados iguais?
  5. Qual é a probabilidade de retirar uma bola de uma urna, contento 5 bolas vermelhas e 1 branca, e obter uma bola vermelha?
  6. Uma moeda é vicia de tal modo que sair cara é duas vezes mais provável do que sair coroa. Calcule a probabilidade de:
    1. ocorrer cara no lançamento dessa moeda?
    2. ocorrer coroa no lançamento dessa moeda?
  7. Um dado é viciado, de modo que a probabilidade de observarmos qualquer número par é a mesma, e a de observarmos qualquer número ímpar é também a mesma. Porém, um número par é três vezes mais provável de ocorrer do que um número ímpar. Lançando-se esse dado, qual a probabilidade de:
    1. ocorrer um número primo?
    2. ocorrer um múltiplo de 3?
    3. ocorrer um número menor ou igual a 3?
  8. Qual é a probabilidade de, num baralho de 52 cartas, retirarmos uma carta de ouro ou um rei?
  9. Um grupo de 100 universitários é formado por 52 estudantes de engenharia, 27 de medicina, 10 de filosofia e os demais e direito. Escolhido ao acaso um elemento do grupo, qual é a probabilidade dele ser estudante de engenharia ou medicina?
  10. Uma urna contém 40 cartões, numerados e 1 a 40. Se retirarmos ao acaso um cartão dessa urna, qual a probabilidade do número escrito no cartão ser múltiplo de 4 ou múltiplo de 3?
  11. Um dado é viciado, de modo que a probabilidade de observarmos um número na face de cima é proporcional a esse número. Calcule a probabilidade de ocorrer número par ou o número 6.
  12. No exercício 11, qual a probabilidade de ocorrer número par ou o número 5?

GABARITO:

  1. a) 1/2 b) 2/3
  2. 1/2
  3. a) 1/6 b) 1/6
  4. 1/2
  5. 5/6
  6. a)2/3 b)1/3
  7. a)5/12 b)1/3 c)5/12
  8. 4/13
  9. 79/100
  10. 1/2
  11. 4/7
  12. 17/21
In [ ]: