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Estatística 1 - Aula 6

Aula 06 - Medidas de assimetria e medidas de curtose

Medidas de assimetria e medidas de curtose

Assimetria

Quando uma distribuição é simétria, a média e a moda coincidem. sendo a distribuição assimétria à esquerda ou negativa, a média é menor que a moda; e sendo assimétrica à direita ou positiva, a média é maior que a moda.

Assim:

\begin{equation} \bar{x} - Mo = 0 \text{--> assimetria nula ou distribuição simétrica} \end{equation}\begin{equation} \bar{x} - Mo < 0 \text{--> assimetria negativa ou à esquerda} \end{equation}\begin{equation} \bar{x} - Mo > 0 \text{--> assimetria positiva ou à direita} \end{equation}

Exemplos

Quais frequências abaixo são simétricas?

classes Frequência
2-6 6
6-10 12
10-14 24
14-18 12
18-22 6

Temos:

\begin{equation} \bar{x} = 12 \end{equation}\begin{equation} Md = 12 \end{equation}\begin{equation} Mo = 12 \end{equation}\begin{equation} s = 4,42 \end{equation}

Logo, a distribuição é simétrica.

classes Frequência
2-6 6
6-10 12
10-14 24
14-18 30
18-22 6

Temos:

\begin{equation} \bar{x} = 12,9 \end{equation}\begin{equation} Md = 13,5 \end{equation}\begin{equation} Mo = 16 \end{equation}\begin{equation} s = 4,20 \end{equation}

Logo, a distribuição é assimétrica negativa.

classes Frequência
2-6 6
6-10 30
10-14 24
14-18 12
18-22 6

Temos:

\begin{equation} \bar{x} = 11,1 \end{equation}\begin{equation} Md = 10,5 \end{equation}\begin{equation} Mo = 8 \end{equation}\begin{equation} s = 4,20 \end{equation}

Logo, a distribuição é assimétrica positiva.

Coeficiente de assimetria

A medida de assimetria anterior, por ser absoluta, apresenta a mesma deficiência do desvio padrão, isto é, não permite comparações com outras distribuições a fim de discutir se uma é mais assimétrica do que outra.

Para comparações, é utilizado o coeficiente de assimetria de Pearson:

\begin{equation} As = \frac{3*(\bar{x} - Md)}{s} \end{equation}

Dos exemplos anteriores:

\begin{equation} As_1 = \frac{3*(12-12)}{4,42} = 0 \end{equation}\begin{equation} As_2 = \frac{3*(12,9-13,5)}{4,20} = -0,429 \end{equation}\begin{equation} As_3 = \frac{3*(11,1 - 10,5)}{4,20} = 0,429 \end{equation}

Curtose

Denominamos curtose o grau de achatamento em relação a uma distribuição padrão normal.

Devido à distribuição normal só ser estudada mais tarde, neste momento só será estudado o significado de curtose. Existem três classificações para curtose:

  • Leptocúrtica
  • Mesocúrtica
  • Platicúrtica

Exercícios

1) Considere os seguintes resultados relativos a três distribuições de frequência:

Distribuições média Moda
A 52 52
B 45 50
C 48 46

Determine o tipo de assimetria de cada uma delas.

2) Uma distribuição de frequência apresenta as seguintes medidas: média = 48,1; mediana = 47,9; e desvio padrão = 2,12. Calcule o coeficiente de assimetria de Pearson.

3) Em uma distribuição de frequência foram encontradas as seguintes medidas: Média = 33,18; moda = 27,50; mediana = 31,67; e desvio padrão = 12,25.

a. Classifique o tipo de assimetria.
b. Calcule o coeficiente de assimetria de Pearson.
In [ ]: