× Estatística 1 Estatística 2 Matemática Financeira Logística 1 Administração Financeira Logística 2

open

Estatística 1 - Aula 3

Aula 03 - Distribuicao de frequencia

Distribuição de frequência

Características da distribuição de frequência

As variáveis podem ser observadas e estudadas muito mais facilmente quando dispusermos valores ordenados em uma coluna e colocarmos, ao lado de cada valor, o número de vezes que aparece repetido.

Denominamos frequência o número de repetições de determinado valor da variável estudada. A distribuição de frequência é a análise de todas essas frequências e como elas estão distribuídas.

Como exemplo, vamos analisar uma table de distribuição de frequência de alturas de estudantes de uma determinada turma:

Altura (cm) Frequência
151 1
152 0
153 1
154 1
155 4
156 3
157 1
158 2
159 0
160 5
161 4
162 3
163 2
164 3
165 1
166 1

Classes

Mas o processo dado ainda é inconveniente, já que exige muito espaço, mesmo quando o número de valores da variável (n) é de tamanho razoável. Sendo possível, a solução mais aceitável, pela própria natureza da variável contínua, é o agrupamento dos valores em vários intervalos. Como exemplo:

Altura (cm) Frequência
151 - 155 8
156 - 160 11
161 - 165 13
166 - 170 1

Os intervalos criados são chamados de classes. Na tabela acima, à direita, podemos ver a frequência de cada classe.

Classes de frequência ou apenas classes são intervalos de uma variação da variável.

Extremos

Denominanos também de limites de classe os extremos de cada classe

No caso há o limite inferior e o superior de cada classe. Nos exemplos anteriores, os limites inferiores seriam: 151, 156, 161, 166; e os superiores: 155, 160, 165, 170.

Amplitude

Amplitude de um intervalo de classe ou apenas amplitude é a medida do intervalo que define a classe.

Ela é obtida pela diferença entre os limites superiores e inferiores. Nos exemplos anteriores, há as seguintes amplitudes para cada classe em ordem: 4.

\begin{equation} \text{amplitude: } 155 - 151 = 160 - 156 = 165 - 161 = 170 - 166 = 4 \end{equation}

Amplitude total da distribuição

Amplitude total da distribuição é a diferença entre o limite superior da última classe e o limite inferior da primeira classe. Ou também a diferença entre o menor dado e o maior.

No exemplo, a amplitude total seria 19, por o limite inferior da primeira classe ser 151 e o limite superior da última classe ser 170.

Número de classes

A primeira preocupação que temos em uma distribuição de frequência é a determinação do número de classes.

Normalmente é utilizado a regra de Sturges, que nos dá o número de classes a partir da seguinte função:

\begin{equation} \text{quantidade de classes = } 1 + 3,3*log(n) \end{equation}

A amplitude de cada classe é dada pela divisão entre a amplitude total e o número de classes:

\begin{equation} \text{amplitude de cada classe = } \frac{\text{amplitude total}}{\text{número de classes}} \end{equation}

Tipos de frequência

Frequência simples ou absoluta

Frequência simples ou absoluta são os valores que realmente representam o número de dados de cada classe

Exemplo:

Altura (cm) Frequência simples
151 - 155 8
156 - 160 11
161 - 165 13
166 - 170 1

Frequência relativa

Frequência relativa são os valores das razões entre as frequências simples e a frequência total

Exemplo com total 33:

Altura (cm) Frequência relativa
151 - 155 8/33
156 - 160 11/33
161 - 165 13/33
166 - 170 1/33

Frequência acumulada

Frequência acumulada é o total das frequências de todos os valores inferiores ao limite superior do intervalo de uma dada classe.

Altura (cm) Frequência acumulada
151 - 155 8
156 - 160 19
161 - 165 32
166 - 170 33

Frequência acumulada relativa

Frequência acumulada relativa é a frequência acumulada das classes dividido pelo total da distribuição.

Exemplo com total 33:

Altura (cm) Frequência acumulada relativa
151 - 155 8/33
156 - 160 19/33
161 - 165 32/33
166 - 170 33/33

Representação gráfica

Além do gráfico de barras ou histograma para representar graficamente uma distribuição de frequência podemos utilizar as seguintes possibilidades.

Polígono de frequência

Para uma representação gráfica da distribuição de frequência se utiliza o polígono de frequência.

O polígono de frequência é um gráfico em linha, sendo as frequências marcadas sobre perpendiculares ao eixo horizontal, levantadas pelos pontos médios dos intervalos de classe.

Exemplo:

Exemplo de polígono de frequência

Polígono de frequência acumulada

O polígono de frequência acumulada é traçado marcando-se as frequências acumuladas sobre perpendiculares ao eixo horizontal, levantadas aos pontos correspondentes aos limites superiores dos intervalos de classe.

Exemplo:

Exemplo de polígono de frequência

Curva de frequência

Como em geral, os dados coletados pertencem a uma amostra extraída de uma população, a linha poligonal não é a melhor representação da realidade de população. Para demonstrar a realidade da população usa-se a curva de frequência, colocando-se em evidência a natureza da distribuição da população.

Enquanto o polígono de frequência é dada a imagem real do fenômeno estudado, a curva de frequência fornece a imagem tendencial.

Assim, após o traçado de um polígono de frequência é desejável realizar um polimento de modo a mostrar o que seria tal polígono com um número maior de dados.

Esse polimento consiste na eliminação dos vértices da linha poligonal. Consegue-se isso com o emprego de uma fórmula a partir das frequências reais, obtendo assim frequências calculadas.

A fórmula da frequência calculada de uma classe i é:

\begin{equation} F_c = \frac{F_{i-1} + 2 * F_i + F_{i+1}}{4} \end{equation}
  • Fc é a frequência calculada
  • Fi é a frequência simples da classe
  • Fi-1 é a a frequência simples da classe anterior
  • Fi+1 é a a frequência simples da classe seguinte
Altura (cm) Frequência Frequência calculada
151 - 155 8 (0 + 16 + 11)/4 = 6,75
156 - 160 11 (8 + 22 + 13)/4 = 10,75
161 - 165 13 (11 + 26 + 1)/4 = 9,5
166 - 170 1 (13 + 2 + 0)/4 = 3,75

As formas das curvas de frequência

Curvas em forma de um sino

Caracterizam-se pelo fato de apresentarem um valor máximo na região central. São as mais encontradas na natureza. Exemplos: alturas, notas de alunos, crescimento diário de preços de ações etc...

Podem ser simétricas:

Curva simétrica

E podem ser assimétricas:

Curva simétrica

As assimétricas podem ser enviesadas para direita ou esquerda, ou respectivamente assimétricas positivas ou negativas.

Curvas em forma de jota

São relativas às distribuições extremamente assimétricas. Normalmente encontradas em funções exponenciais. Exemplos: crescimento populacional, valor de um fundo, preço de produtos no tempo.

Curva simétrica

Curvas em forma de U

São relativas às distribuições que apresentam ordenadas máximas em ambas as extremidades. Pode ser encontrada em situações bem específicas: temperatura durante o ano, taxa de mortalidade por idade.

Curva simétrica

Exercícios

1) As notas obtidas por 50 alunos de uma classe foram:

1 2 3 4 5 6 6 7 7 8
2 3 3 4 5 6 6 7 8 8
2 3 4 4 5 6 6 7 8 9
2 3 4 5 5 6 6 7 8 9
2 3 4 5 5 6 7 7 8 9

Decidiu-se dividir as frequências em 5 classes (0-2, 2-4, 4-6, 6-8 e 8-10). Responda:

a) Complete a distribuição de frequência das classes.     
b) Qual a amplitude amostral?    
c) Qual a amplitude da distribuição?    
d) Qual o número de classes da distribuição?    
e) Qual o limite superior da quarta classe?    
f) Qual o limite superior da classe de ordem 2?    
g) Qual a amplitude do segundo intervalo de classe?


2) Conhecida as notas de 50 alunos:

84 68 33 52 47 73 68 61 73 77
74 71 81 91 65 55 57 35 85 88
59 80 41 50 53 65 76 85 73 60
67 41 78 56 94 35 45 55 64 74
65 94 66 48 39 69 89 98 42 54

Obtenha a distribuição de frequência, tendo 30 para limite inferior da primeira classe e 10 para intervalo de classe.

3) Os resultados do lançamento de um dado 50 vezes foram os seguintes:

1 1 1 1 1 1 1 2 2 1
2 2 2 2 2 3 3 3 3 3
4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
5 5 5 3 3 3 5 5 5 5
5 5 6 6 6 6 6 6 6 6

Forme uma distribuição de frequência sem intervalos de classe.

4) Dada a distribuição de frequência:

x Frequência
3 2
4 5
5 12
6 10
7 8
8 3

Determine:

a) O somatório das frequências 
b) As frequências relativas
c) As frequências acumuladas
d) As frequências relativas acumuladas

5) Confeccione a curva polida relativa à distribuição de frequência:

i classes Frequência
1 4 - 8 2
2 8 - 12 5
3 12 - 16 9
4 16 - 20 6
5 20 - 24 2
6 24 - 28 1

6) Cite o tipo de curva correspondente a cada distribuição a seguir:

a) Número de mulheres de 15 a 30 anos, em uma dada população, casadas, classificadas segundo o número de vezes que hajam contraído matrimônio;
b) Notas de alunos que cursam a última série do 2º grau, em uma dada população;
c) Coeficiente de mortalidade por acidente, por grupo de idade;
d) Tempo de estacionamento de veículos motorizados em uma área de congestionamento;
e) Número de homens capacitados, por grupo de idade, que estão desempregados.


7) Os números abaixo apresentam os coeficientes de liquidez obtidos da análise do balanço de 50 indústrias:

3,9 7,4 10,0 11,8 2,3 4,5 10,5 8,4 15,6 7,6
18,8 2,9 2,3 0,4 5,0 9,0 5,5 9,2 12,4 8,7
4,5 4,4 10,6 5,6 8,5 2,4 17,8 11,6 0,8 4,4
7,1 3,2 2,7 16,2 2,7 9,5 13,1 3,8 6,3 7,9
4,8 5,3 12,9 6,9 6,3 7,5 2,6 3,3 4,6 16,0

a) Forme com esses dados uma distribuição com intervalos de classe iguais a 3, tais que os limites inferiores sejam múltiplos de 3;
b) Confeccione o histograma e o polígono de frequência correspondentes.


8) Um grau de nebulosidade, registrado em décimos, ocorre de acordo com a distribuição abaixo:

Nebulosidade Frequência
0 - 0,5 320
0,5 - 1,5 125
1,5 - 2,5 75
2,5 - 3,5 65
3,5 - 4,5 45
4,5 - 5,5 45
5,5 - 6,5 55
6,5 - 7,5 65
7,5 - 8,5 90
8,5 - 9,5 145
9,5 - 10 676

Construa o histograma correspondente.

9) Considerando a distribuição abaixo:

Classes Frequência
1 - 2 7
2 - 3 3
3 - 4 10
4 - 5 11
5 - 6 12
6 - 7 37
7 - 8 35
8 - 9 45
9 - 10 39
10 - 11 30
11 - 12 25

Construa o histograma correspondente.

10) A tabela abaixo apresenta uma distribuição de frequência das áreas de 400 lotes:

Áreas (m²) Número de lotes
300 - 400 14
400 - 500 46
500 - 600 58
600 - 700 76
700 - 800 68
800 - 900 62
900 - 1000 48
1000 - 1100 22
1100 - 1200 6

Com referência a essa tabela, determine:

a) a amplitude total;
b) o limite superior da quinta classe;
c) o limite inferior da oitava classe;
d) o ponto médio da sétima classe;
e) amplitude do intervalo da segunda classe;
f) frequência da quarta classe;
g) frequência relativa da sexta classe;
h) frequência acumulada da quinta classe;
i) o número de lotes cuja área não atinge 700 m²;
j) O número de lotes cuja área atinge e ultrapassa 800 m²;
l) A percentagem dos lotes cuja área seja maior ou igual a 900 m²;
m) A percentagem dos lotes cuja área é de 500 m², no mínimo, mas inferior a 1000 m²;
In [ ]: